Любое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: А и Æ, их называют несобственными подмножествами множества А.
Если А ¹ Æ, то всякий элемент множества А порождает его одноэлементное подмножество, т.е. если 
, то { а } 
.
Множество всех подмножеств множества А обозначают Р (А). Рассмотрим пример. Дано множество А = {1, 2, 3}, составим множество всех его подмножеств Р (А)={ Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.
Заметим, что пустое множество имеет одно подмножество: Æ.
Итак, Р (А) ≠ Æ, для любого множества А. Для каждого множества, состоящего из m элементов, можно образовать 2 m подмножеств (доказательство этого предложения будет приведено в § 4 главы III пособия).
Нередко бывает так, что в пределах одной задачи рассматривают подмножества одного и того же множества U. Такое множество U называют универсальным множеством.
Так, если А – множество студентов 1-го курса некоторого института, В – множество студенток того же института, С – множество студентов-спортсменов этого института, то в качестве универсального множества U можно взять множество всех студентов данного института, потому что тогда А 
U, В U, С U. На диаграммах Эйлера-Венна универсальное множество U часто изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами.
В школьном курсе математики универсальным числовым множеством является множество действительных чисел, в планиметрии – множество точек плоскости, в стереометрии – множество точек пространства. Заметим, что понятие универсального множества относительно. В самом деле, на различных этапах изучения математики в школе в качестве универсального выступают числовые множества:
N, Z, Q, R.
Пересечение множеств
Начнем с задачи. В 3-м классе 35 учеников, из них 20 занимаются в спортивных секциях, 18 – в различных кружках, причем каждый ученик занимается хотя бы одним видом внеклассной работы: спортивным или кружковым. Сколько учеников занимаются одновременно спортом и в кружках?
А В
А  В
Рис. 2
| Т.к. 20 + 18 = 38 и 38 > 35, то ясно, что круги А и В (здесь А и В соответственно множества учеников, занимающихся спортом и в кружках) должны налегать друг на друга, т.е. у них должна быть общая часть, которая не пуста. |
Решим задачу с помощью диаграммы Эйлера-Венна (рис. 2).
Путем рассуждений устанавливаем, что число учеников, которые занимаются спортом и в кружках, равно 3. Заметим так же, что
(20 + 18) – 35 = 3.
В этой задаче нам встретилось понятие общей части двух множеств. В теории множеств эта общая часть называется пересечением множеств.
Определение. Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно и обозначают А 
В, т.е.
А В = { х | х Î А и х Î В }.
Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением. На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств А и В изображается заштрихованной областью (рис. 3).
А В
|
Рис. 3
Вообще, если множества А и В имеют элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А В = Æ. На диаграмме Эйлера-Венна такие множества изображаются при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.
Понятие пересечения двух множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.
П р и м е р ы.
1) А = { а, в, с }. В = { в, с, d }, А В = { в, с }.
2) А = { а, в, с }, В = { в, с, d }, С = { к, l, в }, А В С = { в }.
3) Если А Í В Í С, то А В С = А.
Рассмотрим свойства операции пересечения множеств.
Для любых множеств А, В, С:
1°. А Æ = Æ;
2°. А А = А;
3°. А В = В А – коммутативность пересечения;
4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность пересечения;
5°. А В <=> А В = А;
6°. А U = А (U – универсальное множество).
Свойства 1°-4° вытекают из определения пересечения множеств.
Доказательство свойства 5°.
Если А В, тогда все элементы множества А являются элементами множеств В, а это означает (по определению) А В = А.
Докажем теперь А В = А => А В.
Возьмем любой элемент а 
А и проверим, что а В. Тем самым докажем А В (по определению отношения ).
Итак, пусть а Î А, тогда в силу А В = А получаем а Î А В, а это означает, по определению пересечения, что а Î В. Утверждение доказано.
Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.
Объединение множеств
Определение. Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.
В определении есть слова «принадлежащие хотя бы одному». Математики договорились заменять это словосочетание более кратким «А или В». Заметим, что союз «или» употребляется в неразделительном смысле в отличие от обыденной жизни.
Объединение обозначается A 
В, т.е.
A В = { х | х Î А или х Î В }.
Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.
На диаграмме Эйлера-Венна объединение множеств A и В изображается заштрихованной областью (рис. 4).
|
|
П р и м е р ы.
1) А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, А В = {1, 2, 3, 4}.
2) А = {1, 2, 3}, В = { а, в, с, d }, А B = {1, 2, 3, а, в, с, d }.
3) А = {1, 2, 3}, В = {1, 2, 3, 4, 5}, А В = В = {1, 2, 3, 4, 5}.
4) A = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4}, С = { 3, 4, 5},
A В С = {1, 2, 3, 4, 5}.
Рассмотрим свойства операции объединения множеств. Для любых множеств А, В, С:
1°. А Æ = А;
2°. А А = А;
3°. A В = В A – коммутативность объединения;
4°. А (В С) = (А В) С = А В С – ассоциативность объединения;
5°. A Í В <=> A В = В – закон поглощения;
6°. A U = U.
Свойства 1°-3° вытекают из определения объединения множеств.
Доказательство свойства 4°.
Пусть х Î А (В С), т.е. х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В С. Если х Î A, то х Î А В С, если
х Î В С, то х Î В или х Î С. В любом случае х Î А В С.
Аналогично доказывается обратное включение.
Доказательство свойства 5°.
A Í В => A В = В очевидно. Пусть теперь А В = В, докажем А Í В.
Пусть х Î А, тогда х Î A В по определению объединения. Поскольку, А В = В, то х Î В. Значит, А Í В по определению включения.
Доказательство свойства 6° следует из свойства 5° и определения универсального множества U.
Все перечисленные выше свойства объединения можно проиллюстрировать на диаграмме Эйлера-Венна.
Замечание. Если над множествами производятся операции пересечения и объединения и в записи выражения отсутствуют скобки, то сначала выполняют операцию пересечения, а затем операцию объединения.
