Рассмотрим следующую задачу. Сколько можно составить слогов, состоящих из двух букв, из которых первая – любая согласная из П, Р, С, а вторая – любая гласная из А, О, У, Э? Чтобы выписать все возможные слоги составим таблицу (табл. 2).
Таблица 2
| А | О | У | Э | |
| П | ПА | ПО | ПУ | ПЭ |
| Р | РА | РО | РУ | РЭ |
| С | СА | СО | СУ | СЭ |
С точки зрения теории множеств из двух данных множеств
А = { П, Р, С }, В = { А, О, У, Э } образовано новое множество слогов, состоящее из пар элементов, входящих в множества А и В, причем на первом месте стоит элемент из А, а на втором – элемент из В. Множество таких пар называется декартовым (или прямым) произведением множеств А и B.
Определение. Декартовым произведением А ´ В двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех пар элементов (а, в), таких, что а Î А, в Î В, т.е. А ´ B = {(а, в) | а Î А, в Î В }.
В частности, для любого множества А, А ´ Æ = Æ ´ А = Æ.
Операцию, при помощи которой находят декартово произведение, называют декартовым умножением множеств.
П р и м е р. А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 4, 5}, А ´ B = {(1, 2), (1, 3),
(1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}.
Заметим, что порядок расположения элементов в парах существенен, например, (2, 3) ≠ (3, 2).
Если A и B – числовые множества, то А ´ В – это множество упорядоченных пар чисел, изображая каждую пару чисел в прямоугольной декартовой системе координат, получим фигуру на плоскости. Например на рис. 9 изображено А ´ В множеств А = [0, 2], B = [1, 2]. На рис. 10 изображено А ´ В множеств А = {0, 1, 2}, B = [1, 2].
у у
2 2
1 1
0 1 2 х 0 1 2 х
Рис. 9 Рис. 10
Так изображают графически декартово произведение двух числовых множеств.
Декартово умножение множеств не подчиняется коммутативному закону, т.е. существуют множества А и В, для которых A ´ В ≠ В ´ А. Декартово умножение не подчиняется и ассоциативному закону, но связано с операциями объединения, пересечения и вычитания множеств дистрибутивными свойствами: для любых множеств А, В и С имеют место равенства:
(А 
В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С), С ´ (А В) = (С ´ А) (С ´ В);
(А 
В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С), С ´ (А В) = (С ´ А) (С ´ В);
(А \ В) ´ С = (A ´ С) \ (В ´ С), С ´ (А \ В) = (С ´ А) \ (С ´ В).
Эти свойства интуитивно ясны.
Проверим для множеств А = {1, 2}, B = {2, 3} и C = { a } равенство (А В) ´ С = (A ´ С) (В ´ С).
Тогда 
{1, 2, 3} и 
= {(1, a); (2, a); (3, a)}.
С другой стороны, 
{(1, a); (2, a)}, 
{(2, a); (3, a)} и 
{(1, a); (2, a); (3, a)}.
Как видно, этот пример подтверждает равенство. На этом примере можно проверить и все остальные равенства, приведенные выше.
Однако, пример, подтверждающий равенство, не может служить доказательством этого равенства. Приведем в качестве примера и общее доказательство рассмотренного выше равенства:
и 
(
или 
) и ( и 
) или ( и ) 
или 
.
Следовательно, 
. Обратное включение доказывается точно такой же цепочкой, рассматриваемой лишь с конца.
Можно найти декартово произведение нескольких множеств (двух, трех, …, n множеств).
Определение. Декартовым произведением A 1 ´ A 2 ´ … ´ An множеств A 1, A 2, …, An называют множество всех упорядоченных наборов вида (a 1, a 2, …, an), где а 1 Î А 1, а 2 Î А 2, …, аn Î Аn. Каждый такой набор называют кортежем длины n, т.е.
A 1 ´ A 2 ´ … ´ An = {(а 1, а 2, …, аn)| а 1 Î А 1, а 2 Î А 2, …, аn Î Аn }.
Пример. А = {1, 2, 3}, В = {3, 5, 7}, C = {4, 6}. Найдите A ´ В ´ С.
A ´ В = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}.
A ´ В ´ С = {(1, 3, 4), (1, 5, 4), (1, 7, 4), (2, 3, 4), (2, 5, 4), (2, 7, 4),
(3, 3, 4), (3, 5, 4), (3, 7, 4), (1, 3, 6), (1, 5, 6), (1, 7, 6), (2, 3, 6), (2, 5, 6), (2, 7, 6), (3, 3, 6), (3, 5, 6), (3, 7, 6)}.
