Некоторых пространственных кривых и их конструктивные свойства

Определение 12.15. Цилиндрической винтовой линией называется траектория

движения образующей точки А, которая вращается вокруг прямой и перемещается вдоль неё пропорционально угловому сме-щению.

Цилиндрическая винтовая линия прина-длежит поверхности прямого кругового цили-ндра. Высота, на которую поднимается или расстояние, на которое перемещается обра-зующая точка вдоль оси цилиндра за один оборот, называется шагом винта.

Гелиса является линией одинакового уклона. Это значит, что полукасательные в её точках одинаково наклонены к плоскости основания цилиндра под углом j ° и скрещи-ваются с его осью под постоянным углом y°. То же можно сказать и о бинормалях b, пер-пендикулярных к равнонаклонённым полука-сательным t.

Если взять на оси цилиндра какую-либо точку К и через неё провести прямые, после-

довательно параллельные как полукасате-льным, так и бинормалям, то образуются две соосные конические поверхности, которые называются направляющимиконусами полу-касате льных и биномалей.

Что касается нормалей n, то они, будучи перпендикулярными к вертикальным спрям-ляющим плоскостям полукасательных и би-нормалей, горизонтальны и пересекают ось цилиндра под прямым углом.

Будучи горизонтальными, нормали яв-ляются горизонталями соприкасающихся плоскостей, пересекающих ось цилиндра под постоянным углом j °, а его поверхность,- по конгруэнтным эллипсам. При этом точки ге-лисы как вершины сопровождающего трех-гранника Френе, являются концами малых осей эллипсов сечений цилиндра соприкаса-ющимися плоскостями. Эти эллипсы в кон-цах малых осей минимально искривлены, а значит, радиусы кривизны в них будут макси-мальными, бо¢льшими, чем радиус основа-ния цилиндра.

Отсюда следует, что геометрическим ме-

стом центров кривизн или эволютой ци-линдрической винторой линии а является цилиндрическая винтовая линия е, радиус цилиндрической поверхности которой равен

разности величины постоянного радиуса

кривизны линии-эвольвенты а и радиуса цилиндрической поверхности Ф, которой эта линия принадлежит. На рис. 12.50 эволюта е условно не показана.

12.6.2.. Коническая винтовая линия (рис.12.51)

Определение 12.16. Конической винто-вой линией называется траектория движе-нияобразующей точки, которая переме-щается по образующей поверхности конуса вращения от его вершины пропорциональ-но угловому смещению этой образующей при её вращении вокруг оси конуса.

Прямая t, касательная к линии а в точке А является гипотенузой прямоугольного тре-угольника А А₁ В, общим катетом которого является участок образующей конуса от точки А до точки А₁ на его основании, а вто-

Рис. 12. 51. Геометрическая модель конической винтовой линии

рой катет равен длине дуги окружности ос- основания конуса от точки N начала линии а на ней до точки А.

Касательная t, подкасательная t₁ и образу-

ющая l определяют спрямляющую плоскость

Рис. 12.52. Геометрическая модель

закономерных линий, принадлежащих

сферической поверхности

s,наклонённую к плоскости основания кону-- са под постоянным углом j °.

Бинормаль b перпендикулярна к каса-

тельной t и принадлежит плоскости s.

Нормаль n ^s пересекает ось конуса і под углом a ° и в паре с касательной t опре-

деляет соприкасающуюся плоскость t, пере-секающую поверхность конуса по эллипсам

с различными значениями большой и малой

осей. Это значит, что радиусы кривизн в то-чках конической винтовой линии как в вер-

шинах сопровождающего трехгранника Фре-

не, не равны расстояниям до оси вращения и поэтому в своей совокупности центры кривизн в этих точках образуют эволюту конического винта в виде конической гели-сы. Эта эволюта лежит на своей «волют-ной» конической поверхности, соосной с данной «эвольвентной» поверхностью Ф.

Радиус её произвольной параллели равен расстоянию до оси вращения точки, удалённой по нормали n на величину раз-ности радиуса кривизны основания нормали и расстояния от этого основания до оси вращения конической поверхности Ф.

12.6.3. Сферическая винтовая линия (рис.13.52)

Определение 12.17. Линия, принадле-жащая сферической поверхности и состав-ляющая постоянный угол с её меридиана-ми, называется локсодромией и является сферической винтовой линией.

Сфера замечательна тем, что все нор-мали к ней проходят через её центр. Это значит, что любая соприкасающаяся плос-кость t, определяемая нормалью n и каса-тельной t, пересечет сферу по окружности большого круга радиуса R.

Отсюда следует, что величина криви-зны сферической поверхности в любой её точке на любой линии есть величина пос-тоянная, равная обратному значению её радиуса.

Так как это значение положительно, то сфера является поверхностью постоянной положительной кривизны, а эволютой лю-бой принадлежащей ей линии будет точка О, - её центр.

Постоянство угла между локсодромией и меридианами сферы определяет посто-янство углов наклона касательной t и бино-рмали b к линии пересечения спрямляющей плоскости s с плоскостью экватора сферы.

Локсодромия применяется в морской и воздушной навигации. Двигаясь по ней из

начального пункта в конечный, судно при—держивается постоянного курса относи-

тельно магнитных меридианов (при помо-

щи компаса.)

Определение 12.18. Линия на поверх-ности сферы, соединяющая две любые

точки по окружности большого круга, на-зывается ортодоромией или брахисто-хроной и является геодезической (см. рис.12.55).

Определение 12.19. Линия на сфери-ческой поверхности, касательные к ко-торой равнонаклонены к плоскости её экватора, называется линией одинаково-го ската или откоса (см. рис. 12.56).