Модели кривых линий и их конструктивные свойства

Геометрические

Определение 12.1. Кривой линией называется одномерная система по-следовательных положений (или тра-ектория движения) точки, движущей-ся в пространстве и постоянно изме-няющей направление своего движения.

Если направление движения точки неизменно, то её траектория прямо-линейна.

На изменение этого направления, кроме прочих, влияют различные гео-метрические условия, соблюдение ко-торых порождает ту или иную криволи-нейную траекторию как систему после-довательных положений образующей её точки.

В каждом положении движущейся точки А вектор направления её движе-ния к а с а т е л е н к её траектории

(рис.12.1). Вектор направления обрат-ного движения этой точки также касате-лен к линии а и составляет с соответст-вующим вектором прямого движения касательную прямую t, состоящую из двух полукасательных t¹ и t², прямого и обратного направлений.

Если провести касательные во всех точках кривой, то можно сказать, что они огибают кривую, или кривая явля-ется линией, огибающей свои касате-льные. Отсюда вытекает, что кривую линию конструктивно можно образовать движением прямой линии, на каждом положении которой существует единст-венная точка её касания к образуемой кривой линии.

Определение 12.2. Прямая линия b, пересекающая кривую линию m в двух или нескольких точках А, В…, называется с е к у щ е й (рис.12.2).

Если точку А приближать к непод-вижной точке В, то секущая b станет поворачиваться вокруг точки В и в по-ложении, когда точка А совпадёт с точ-кой В, она займёт своё крайнее, касате-льное положение bⁿ º t. При продол-жении движения А по m прямая b вновь станет секущей. Если при этом направ-ление её поворота вокруг точки В не из-

менится, то точка В и касательная t в ней являются о б ы к н о в е н н ы м и.

Если же в каких-либо точках кривой линии эти условия нарушаются, то эти точки и касательные в них называются о с о б ы м и (см. рис. 5.59)

Определение 12.3. Кривые линии, состоящие из обыкновенных точек, называются г л а д к и м и.

К числу особых относятся:

1. точка А излома кривой, когда полукасательные t¹ и t² в ней не совпа- дают;

2. точка В клюва первого рода, когда две ветви кривой линии распола-гаются по обе стороны от совпавших её полукасательных t¹ º t² ;

3. Точка С клюва второго рода, когда две ветви кривой линии распола-гаются по одну сторону от совпавших её полукасательных t¹ º t²;

4. Узловая точка D, в которой её полукасательные t¹ и t² не совпадают;

5. Точка Е самосоприкасания, ког-да несколько витков кривой линии каса-ются в ней совпавших полукасатель-ных и располагаются по отношению к ним либо по одну, либо по обе стороны;

6. Точка F перегиба, в которой кри-вая линия, касаясь к касательной прямой, переходит с одной её стороны на другую;

7. Асимптотическая точка G, ккоторой стремится спиральная кривая.

Если все точки кривой линии комп-ланарны, то кривая является плоской. В противном случае кривая линия явля-ется пространственной.

Если на плоской кривой а взять три бесконечно близко расположенные точ-

ки В,А,С, то кон-цептуально они определяют еди- нственную окру-жность, которая ограничивает круг кривизны

Рис. 12.3. Круг кривизны кривой линии в

кривой а в её обычно- средней обыкно-

венной точке А венной точке А.

Центр и радиус этого круга называ-ваются соответствено центром и ра-диусом кривизны кривой линии а в точке А.

С направлением радиуса ОА этого

круга совпадает прямая линия n, назы-

 

 

Рис.12.4. Образование эволюты

плоской кривой линии

 

 

ваемая нормалью кривой линии а в еёобыкновенной точке А.

Конструктивно касательная прямая t всегда перпендикулярна к нормали n в точке касания А.

В каждой точке произвольной кри-вой линии круги кривизны имеют раз-ные радиусы, что говорит о перемен-

ном характере искривлённо-

сти кривой в её разных точ-

ках.

Степень искривлённос-

ти кривой в данной обыкно-

венной точке характеризует-

ся её кривизной как числен-ной величиной, значение которой обратно пропорцио-нально значению величины радиуса соответствующего

круга кривизны.

Так как графически невозможно про-вести окружность через три бесконечно близкие точки, то практически для гра-фического определения величин ради-усов кривизн кривой m в её разных то-чках фиксируют ряд последовательных положений системы 2-х взаимно-перпендикулярных прямых (n ^ t), одна из которых играет роль касательной и своими положениями огибает данную кривую m, а вторая,- роль нормали, которая своими последовательными положениями огибает некоторую кривую m¢ как геометрическое место центров кривизн кривой m в её фиксированных точках (рис.12.4).

Определение 12.4 Кривая линия m¢, огибающая последовательные по-ложения нормали n в последовательно расположенных точках данной кривой называется её э в о л ю т о й.

По отношению к своей эволюте кривая m является э в о л ь в е н т о й.

Всякая эвольвента имеет свою единственную эволюту.

Всякую плоскую кривую можно при-нять за эволюту, которой будет соот-ветствовать бесчисленное множество эвольвент.

Следует отметить конструктивный характер процесса получения эволюты

как результата конструктивного преоб-

разования в неё данной кривой -эволь-

венты.

Если взять три бесконечно близкие

точки пространственной кривой m, то они определят плоскость t, которая на-зывается соприкасающейся. В ней рас-полагаются касательная t и нормаль n в средней из этих точек, равно как и круг кривизны с центром О на нормали n (рис.12.5).

 

Рис. 12.5. Сопровождающий трёхгранник

Френе пространственной кривой линии

 

Прямая b, перпендикулярная к со-прикасающейся плоскости t в точке ка-

сания А, называется бинормалью.

Бинормаль b и касательная t опре-деляют спрямляющую плоскостьs, а нормаль n и бинормаль b – нормаль-ную плоскость h.

Все три плоскости t, s и h взаимно перпендикулярны и образуют прямой трёхгранный угол, называемый сопро-вождающим трёхгранником Френе.

Сопровождающий потому, что он пере-мещается по кривой m так, что прямая t остаётся всё время касательной к ней.

 

Рис.12.6. Проекции пространственной кривой на грани трёхгранника Френе

Так как грани t, s и h этого трёх-гранника подобны плоскостям проекций

П ₁, П₂ и П₃, то в каждой конкретной то-

 

 

Рис.12.7. Трёхкартинный комплексный чертёж пространственной кривой

 

Рис.12.8. СИСТЕМНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ ЛИНИЙ . Таблица 1
Исходные условия, уравнение линии	Образуемая линия	Структурные элементы кривой линии	Наименование линии и её системное определение
1.     | OA | = R   R – const   x2 + y2 = R2		O -- центр; OA = R - -- радиус; A1 A = 2R --диаметр; A1 A2 -- секущая; A 1Am -- хорда; A1 O A2 -- сектор круга; Ð A1 O A3 = j ° -- центральный угол; A1 m Am -- сегмент круга; Ð A1 A2 An = 90 °	Окружность– это система компланар-ных точек, равноуда-лённых от одной то-чки О, называемой центром, на задан-ное расстояние ОА = = R, называемое её радиусом.

чке свойства кривой m изучаются по свойствам её ортогональных проекций на эти грани (рис.12.6).

Так как точка А в трёхграннике Фре-не подобна началу координат О₁₂₃, то она совпадает со своими проекциями на эти грани и из трёхкартинного компле-ксного чертежа (рис.12.7) кривой m вид-но, что она обладает свойствами обы-кновенной точки (А _t), точки пе-региба (А _s) и точки излома (А _h).

Пространственная кривая

дважды искривлена. Первая её

искривлённость определяется

степенью её отклонения от пря-

молинейности, т.е., от касатель-

ной t, а вторая искривлённость, называемая кручением, - степе-нью её отклонения от плоскост-ности, т.е., от соприкасающейся плоскости t.

Эволюта пространственной кривой линии есть пространстввеная кривая линия как система последовать-льных положений центров её кривизн в каждой точке, через которую проходит сопровождающий трехгранник Френе.

Так как геометрические условия,

которые влияют на изменение направ-

 

ления движения образующей точки, мо-

гут быть разными, то возможно образо-вание множества различных кривых линий.

В этом множестве различаются ли-нии закономерные и случайного вида (или по «замыслу проектировщика»). Наиболее изученными являются зако-номерные линии, которые подразделя-ются на алгебраические (описываемые алгебраическими уравнениями) и тра-нсцендентные (описываемые тригоно-метрическими уравнениями). Среди

хорошо изученных наиболее распро-странёнными в архитектуре и дизайне являются алгебраические кривые второго порядка и некоторые линии более высоких порядков.

Структура основных линий приве-дена в таблице 1.

Судя по степени уравнений, окруж-ность, эллипс, гипербола и парабола являются алгебраическими кривыми второго порядка, трисектриса Макло-рена – третьего, а конхоида Никомеда – четвертого порядка.

О порядке алгебраической кривой судят по максимальному числу точек её пересечения с прямой линией.

 

 

Исходные условия, уравнение линии	Образуемая линия	Структурные элементы кривой линии	Наименование линии и её системное определение
2.   | F1M |+| F2M | = = AB – const   x2 / a2 + y2/ b2 = 1		F1, F2 -- фокусы F1 F2 = 2c -- фокусное расстояние AB = 2a -- большая ось эллипса CD = 2b -- малая ось эллипса F1 M, F2 M -- фокальные радиусы- векторы MN, PQ - сопряженные диаметры A,B,C,D -- вершины t -- касательная n -- нормаль F1 M + F2 M = AB c: a = e -- эксцентриситет d1, d2 -- директрисы d1 || d2 ^ AB K, L -- основания директрис TE -- фокальная хорда	Эллипс – это систе-ма компланарных точек, сумма рас-стояний от каждой из которых до двух точек F1 и F2, назы-ваемых фокусами, есть величина пос-тоянная..
3.     | F1M | - | F2M | = = AB – const;   x2/a2-y2/b2 = 1;   y = 1/ x		F1, F2 -- фокусы F1 F2 = 2c -- фокусное расстояние F1M, F2 M -- радиусы-векторы A, B -- вершины AB = 2a --действительная ось CD = 2b --мнимая ось d1, d2 ^ AB --директрисы K,L --основания директрис c: a = e -- эксцентриситет k1, k2 -- асимптоты t -- касательная n -- нормаль MN -- фокальная хорда	Гипербола – это система компланар- ных точек, разность расстояний которых до двух данных то-чек F1 и F2, называе-мых фокусами, есть величина постоян-ная

 

Наименование линии и её системное определение       Исходные условия, уравнение линии   Образуемая линия   Структурные элементы кривой линии   Наименование линии и её системное определение       Структурные элементы кривой линии Наименование линии и её системное определение         4.     |FM | = | MN | = = const MN ^ d   y2 = 2px   F - фокус A - вершина AF - главный диаметр i - ось симметрии CE - хорда b - диаметр t - касательная n - нормаль d - директриса FD = p - параметр FA = FD = p / 2 tA - главная касательная KL - фокальная хорда   Парабола – это си-стема компланар-ных точек, равноу-далённых от одной из них, называемой фокусом, и от комп-ланарной с ними прямой, называе- директрисой. F -- фокус A -- вершина AF -- главный диаметр i -- ось симметрии CE -- хорда b --диаметр t -- касательная n -- нормаль d -- директриса FD = p -- параметр FA = FD = p/2 tA -- главная касательная KL -- фокальная xорда     Парабола - это система компланар-ных точек, равноу-далённых от одной из них, называемой фокусом, и от комп-ланарной с ними прямой, называемой директрисой     Парабола -это система комплана-рных точек, равноу далённых от одной из них, называемой фокусом, и от ком-планарной с ними прямой, называе-мой директрисой.           | AC | = l;   | CO | = 3l;   (t Î C) ^ AO; x (x2 + y2) = = l (3x2 – y2).   О, А - центры gараллельных gучков АО - диаметр (ось cимметрии) t ^ AO - главная касательная   AC = ¼ AO = | l |   AP || OM   PM ^ OM ^ AP   M = PM ´ OM Трисектриса Маклорена это система комп-ланарных точек пе-ресечения лучей одного пучка О со вторыми сторонами прямых углов, вер-шины которых ин-циденты постоян-ной прямой – глав-ной касательной t, а вторые стороны являются лучами второго пучка А, со-ответственно па-раллельными лу-чам первого.       6.   | AB | = | AC | BC Î o A Î a (x–a)2(x2 + y2)= = c2 x2       O - полюс а - данная прямая, асимптота   CA = AB     Конхоида Никомеда Это система комп-ланарных точек, удалённых от точек данной прямой на постоянное рассто-яние по лучам дан-ного пучка О.     O,A -- центры паралле- ных пучков AO -- диаметр (ось симметрии) t ^ AO -- главная касательная AC = ¼ AO = l AP || OM   PM ^ OM ^ AP   M = PM ´ OM   Трисектриса Маклорена – это система комппла-нарных точек пере-сечения лучей одно-го пучка О со вторы-ми сторонами пря-мых углов, вершины которых инциденты постоянной прямой – главной касательной t, а вторые стороны являются лучами второго пучка А, со-ответственно парал-лельными лучам пе-рвого.     Трисектриса Маклорена - система компланар-ных точек пересече-ния лучей одного пу-чка О со вторыми сторонами прямых углов, вершины ко-торых инцидентны постоянной прямой – - главной касатель-ной t, а вторые сто-роны являются луча-ми второго пучка А, соответственно па- раллельными лучам первого.             6.   O -- полюс; а -- данная прямая, асимптота; СА = АВ Конхоида Никомеда - система компланар-ных точек,удалённых от точек данной пря-мой на постоянное расстояние по лучам данного пучка О.       |AB| = |AC| BC Î o A Î a (x – a)2 (x2+ y2) = = c2x2               Конхоида Никомеда – система компланар-ных точек, удалён-ных от точек данной прямой на постоян-ное расстояние по лучам данного пучка О.

Рис.12.9. Циклоида

 

 

 

Рис.12.10. Эпициклоида

Рис.12.11. Гипоциклоида