Конструктивные свойства

В архитектурном и дизайнерском проектировании наибольшее распро-странение имеют кривые линии второго порядка. Они носят название коничес-ких сечений, так как их можно получить в результате пересечения поверхности прямого кругового конуса плоскостями различного положения по отношению к её образующим (рис. 12.13).

 

Рис. 12.13. Виды конических сечений в зави-симости от положения секущей плоскости

 

Если плоскость пересекает все об-разующие и перпендикулярна к оси вра-

щения конуса, то её сечение называется

ется н о р м а л ь н ы м и является окружностью.

 

 

Рис. 12.14. Геометрическая модель

эллипса, её фокусов и директрис

Рис. 12.15. Геометрическая модель

параболы, её фокуса и директрисы

 

 

Если плоскость пересекает все об-

разующие поверхности, но не перпен-

дикулярна к оси её вращения, то в се-

чении будет замкнутая кривая – э л л и- п с (рис.12.14). При этом фокусы F¹ и F²

эллипса конструктивно являются точка-

ми касания плоскости его кривизны поверхностями шаров, называемых ша-рами Данделена, вписанных в конус над и под этой плоскостью.

Что касается директрис d эллипса, то они являются рёбрами двугранных углов между секущей плоскостью a и параллельными плоскостями кривизны окружностей касания конической поверхности впи-санными в неё шарами Дан-делена.

Если плоскость a пересе-кает все образующие кониче-ской поверхности кроме одной, то в сечении будет разомкнутая кривая, содержащая одну не-собственную точку, -- п а р а –

б о л а (рис.12.15).

Фокусом F параболы является точка касания шара Данделена с плоскостью её кривизны, а директрисой –- линия пересечения этой плоскости с плоско-стью кривизны окружности а касания конической поверхности с вписанным в неё шаром.

Если плоскость a пере-секает все образующие кроме двух, то она пересекает обе полы конической поверхности, образуя двухветвевую разом-кнутую линию с двумя несоб-ственными точками, -- г и –

п е р б о л у (рис. 12.16).

Фокусами F¹ и F² гипер-болы конструктивно являются точки касания к плоскости a её кривизны двух конгруэнт-ных шаров Данделена, дирек-трисами d¹, d² – линии пере-сечения этой плоскости с дву-мя плоскостями кривизны окружностей а и b касания шаров Данделена с данной конической поверхностью.

Если провести секущую плоскость

через вершину S конуса параллельно

плоскости a, то она рассечет его повер-

хность по двум прямолинейным образу-

ющим, которые, будучи ортогонально спроецированными на плоскость a, оп-ределят а с и м п т о т ы полученной гиперболы.

 

Рис. 12 16. Геометрическая модель гиперболы с её фокусами, директрисами и асимптотами

 

Если вершину S принять за центр проецирования, то поверхность данного конуса станет проецирующей и линии, лежащие на ней, станут проецировать-ся или преобразовываться друг в дру-га.

Другими словами, эллипс, параболу и гиперболу можно получить путем цен-трального проецирования окружности на соответственно расположенные пло-скости, что делает эти линии проек-тивно эквивалентными.

При этом совершенно очевидно, что данная пространственная ситуация полностью удовлетворяет геометричес-

ким условиям теоремы Дезарга и поэто-

му эллипс, парабола и гипербола есть плоские кривые, перспективно-коллине-

арные окружностям касания соответст-

вующих шаров Данделена при цент-ре коллинеации в вершине конуса и осях коллинеации в виде соответствую-

щих директрис этих кривых.

Если вершину конуса удалить в бес-

 

Рис. 12.17. Геометрическая модель

эллипса, его фокусов и директрис на

цилиндрической поверхности

 

Рис.12.18. Прямой угол опирается

на диаметр окружности (дугу в 180°)

 

Рис.12.19. Угол в 45° опирается на

сторону вписанного квадрата (дугу в 90°)

 

конечность, то его двухпольная по-верхность преобразуется в однополь-ную цилиндрическую, проецирующую две конгруэнтные окружности касания шаров Данделена на наклонную секу-щую плоскость a в эллипс, фокусы F¹, F² и директрисы d¹, d² которого имеют такую же природу, как и у эллипса на поверхности конуса (рис.12.17).

 

Конструктивные свойства

кривых линий второго порядка

1. Окружность. (рис.12.18—12.21, см. также табл.1, п.1).

1. Любой диаметр АВ окружности а является гипотенузой однопараметри-ческого множества прямоугольных тре-угольников АВС, вершинами С которых являются точки этой окружности (рис. 12.18).

Получается, что линейный угол в 90° опирается на дугу окружности в 180° и их отношение равно 1: 2. Окружность замечательна тем, что это отношение сохраняется для любых действительных значений этих углов.

В частности, линейный угол в 45° опирается на сторону вписанного ква-драта (центральный угол - 90°), в 30°,-- на сторону вписанного правильного ше-стиугольника (т.е., на 60°) и т.д. (рис.

12.19).

Отсюда общее правило: Градусная мера линейного угла, вписанного в окружность, вдвое меньше градусной меры центрального угла той дуги окружности, на которую этот линей-ный угол опирается.

2. Медиана СО любого вписанного прямоугольного треугольника АВС раз-бивает его на два равновеликих треуго-льника, основания высот которых рас-полагаются на двух окружностях, диа-метрами которых являются половины гипотенузы АВ, т.е., радиусы данной окружности (рис.12.20). Площадь пря-моугольника О1С2 вдвое меньше пло-щади D АВС.

3.Длина окружности, диаметром ко-торой является радиус данной окружно-сти, равна длине половины данной ок-ружности.

4. Окружность – выпуклая гладкая кривая, обладающая центральной сим-

метрией её диаметрально противопо-ложных точек и осевой симметрией её точек относительно любого диаметра.

4. Продолжение катетов АС и ВD, AD и ВЕ двух любых исходных прямоу-гольных треугольников, вписанных в ок-ружность, до взаимного пересечения в точках 1, 2, 3, 4 образует четырёхуголь-

 

Рис. 12.20. Медиана ОС треугольника АВС

разбивает его на два равновеликих треугольника АОС и ВОС.

 

ники С1D2 и D3E4, диагонали 12 и 34 которых всегда перпендикулярны к диа-метру АВ окружности как к общей гипо-тенузе этих треугольников (рис. 12.21).

 

Рис.12. 21. Построение перпендикуляров, опущенных из точек вне окружности не её

диаметр.

 

В этом легко убедиться поняв, что эти диагонали являются третьими вы-сотами образованных таким построе-нием остроугольных треугольников А1В и А3В, две другие высоты которых яв-ляются катетами АЕ, АD, BC и BD, как бы заданными по условию.

2. Эллипс. (рис.12.22 – 12.27, см. также табл. 1, п.2).

Рис.12. 22. Конструктивные элемен-

ты эллипса

 

Рис.12. 23. Подэрное преобразование окружности в эллипс и построение его эволюты

 

 

Рис. 12.24. Сопряженные диаметры делят сопряженные с ними хорды пополам

 

 

1. Эллипс – замкнутая выпуклая

гладкая кривая линия, обладающая од-ним центром симметрии и двумя взаим-

но-перпендикулярными осями симме-

трии.

2. Нормаль n к эллипсу в произволь-ной точке Е является биссектрисой угла между её радиусами-векторами, прихо-дящими в эту точку.

3. Длины радиусов-векторов для каждой точки эллипса типа 1¢ соответ-ственно равны расстояниям от вершин А и В эллипса до произвольной точки 1 на фокальном отрезке F¹ F².

4. Касательная t к эллипсу в про- извольной точке Е перпендикулярна к соответствующей нормали и является биссектрисой угла, смежного с углом ме-жду радиусами-векторами точки Е.

Отсюда следует ПРАВИЛО:

Биссектрисы произвольных углов между двумя пересекающимися прямы-

ми всегда взаимно-перпендикулярны.

5. Система 4-х касательных в вер- шинах эллипса является описан-ным вокруг него габаритным пря-моугольником.

6. Система 4-х касательных к эллипсу в концах двух его сопря-женных диаметров является опи-санным вокруг него параллело-граммом (рис.12.24).

7.Сопряженные диаметры де-

делят сопряженные с ними хор-

ды пополам.

8. Если в один из фокусов эл-липса поместить источник света или звука, то их лучи, отражаясь от эл-липса, соберутся во втором фокусе. Это свойство эллипса используется в оптике и акустике.

9. Эллипс является линией, огиба-ющей совокупность последовательных положений одной стороны прямого ли-нейного угла, вершина которого пере-мещается по окружности, а вторая сто-рона проходит через точку F внутри круга, ограниченного этой окружностью

(рис. 12.23).

Определение 12.8. Геометричес-

кое место компланарных оснований перпендикуляров, опущенных из одной точки вне кривой линии на прямые, касательные к ней, называется п о –

д э р о й или подошвенной линией данной кривой относительно данной

точки [ 52].

В данном случае окружность является подэрой эллипса относительно его фо-куса F.

10. При заданном положении фоку-са F малая ось эллипса равна фокаль-ной хорде окружности-подэры, проходя-щей через фокус перпендикулярно бо-льшой оси АВ (рис. 12.25).

Рис.12.25. Построение малой оси эллипса и

директрисы по заданной большой полуоси и

одному фокусу.

 

 

11. При заданном фокусе F² рассто-яние OL до соответственной ему дирек-трисы d² равно длине гипотенузы ОЕ прямоугольного треугольника ОВЕ, по-добного треугольнику OF¹N, один катет которого равен полуфокальному рассто-янию с, а второй – величине малой по-луоси ОС.

12. Основание L правой директрисы d² является точкой пересечения касате-льных t¹ и t² к окружности радиуса, рав-ного большой полуоси эллипса, в кон-цах M и N её фокальной хорды.

Определение 12.9. Хорда окружно-сти, соединяющая точки касания к ней двух прямых, выходящих из одной точ-ки вне её, называется п о л я р о й этой точки относительно данной ок-ружности.

Определение 12.10. Точка, из ко-торой проведены две касательные к данной окружности, называется п о –л ю с о м её хорды, соединящей точки касания.

Так как все кривые второго порядка проективно-эквивалентны (потому, что могут взаимно преобразовываться друг

в друга), то отношение полюсов и поляр

Рис. 12.26. Построение точек эллипса

по его большой и малой осям

 

Рис.12.27. Определение осей

эллипса по его заданным элементам

 

 

относительно окружности сохраняется и

относительно эллипса, параболы и ги-перболы.

13.В силу взаимности отношения по-люсов и поляр относительно кривой

линии второго порядка основание дирек-

трисы эллипса является полюсом её фокальной хорды, которая, в свою оче-редь, является полярой основания ди-ректрисы.

14. Фокус эллипса является полю-сом его директрисы, которая, в свою очередь, является полярой его фокуса.

15. Эллипс, задаваемый большой и малой осями, является геометрическим местом вершин прямого угла прямоуго-льного треугольника, длина гипотенузы которого равна разности длин радиусов двух концентрических окружностей, по-строенных на этих осях, а катеты им со-ответственно параллельны (рис.12. 26). Это свойство преимущественно испо-льзуется в архитектурном черчении для построения точек эллипса по двум его осям.

Если эллипс задаётся другими его элементами (фокусами, вершинами, ди-ректрисами, сопряженными диаметрами в различных сочетаниях), то графичес-кие способы его построения сводятся к нахождению по этим элементам его бо-льшой и малой оси.

16. Эллипс может быть задан:

16.1.Большой АВ и малой СD осями

или их половинами (рис. 12.26).

16.2.Большой полуосью ОА и одним

фокусом F¹ (рис.12.27, а).

16.3.Большой полуосью ОА и одной

директрисой d¹ (рис. 12.27, б).

16.4.Одной директрисой d¹ и одним

фокусом F¹ (рис. 12.27, в).

16.5.Одной директрисой d¹ и малой

полуосью ОС (рис.12.27, г).

16.6.Одним фокусом F¹ и малой по-

луосью ОС (рис. 12.27, д).

16.7.Двумя сопряженными диамет-

рами 12 и 34 (рис.12.28).

17. Для графического построения большой АВ и малой СD осей эллипса по его заданным сопряженным диамет-рам 12 и 34 необходимо (рис.12.28):

1. полудиаметр О2 повернуть на 90°, переместив точку 2 в положение точки 5;

2. соединить точку 5 с точкой 3 и оп-

ределить середину 6 отрезка 35;

3.. радиусом О6 из точки 6 как из

центра провести окружность до пересе-чения с прямой, определяемой точками 3 и 5, в точках 7 и 8;

4. соединить точку О с точками 7 и 8, определив тем самым направления большой АВ и малой СD осей искомого эллипса;

Рис. 12. 28. Построение большой АВ и малой СD осей эллипса по его сопряженным диаметрам 12 и 34.

 

5. отложить по направлению О7 ве-личину малых полуосей ОС и ОD, рав-ную отрезку 57, а больших полуосей,- равную отрезку 58 диаметра 78 вспомо-гательной окружности с центром в точ-ке 6;

6. Построение остальных точек эл-липса производить по рис.12.26.

 

3. Гипербола (рис.12.29 - 12.31,

см. также табл.1, п.3).

1. Гипербола – выпуклая, гладкая, разомкнутая двухветвевая линия с од-ной действительной и одной мнимой осями симметрии, с двумя параллель-ными директрисами и с двумя пересе-кающимися прямолинейными асимпто-тами, с которыми её криволинейные ве-тви стремятся пересечься в бесконеч-ности (рис. 12.29).

 

 

Рис.12.29. Геометрическая модель гиперболы

 

Рис. 12.30. Гипербола как киноперс-пективная проекция точки

 

Рис. 12.31. Вид гиперболы при

остром угле между её асимптотами

 

 

Рис. 12.32. Подэрное преобразование

окружности в гиперболу относитель-

но её фокуса

 

 

2. Длины радиусов-векторов для ка-

ждой точки гиперболы типа М¢ равны расстояниям от её вершин до соот-ветствующих точек типа М, взятых на продолжении её действительной оси.

3. Представляя гипер-болу как траекторию движе-ния точки, рассмотрим слу-чай её образования в резу-льтате центрального подви-жного проецирования непо-движной точки А в неизме-няемой проекционной сис-теме S - П¢ [ 89].

Здесь s – траектория движения центра S, кото-рый занимает на ней ряд последовательных положе-

ний S¹, S ², S³, …S ⁿ.

Картина П¢ ^ s, удалён-

ная от центра S на посто-янное расстояние f, переме-щается параллельно самой себе, за-нимая фронтально-проецирующие поло-жения П¹, П², П³, … П ⁿ. Проецируя точку А из подвижного центра S на подвижную картину П¢, получаем ряд точек пересе-чения проецирующих лучей с соответ-ствующими положениями картины, ко-торые, будучи соединёнными непреры-вной линией, образуют равнобокую ги-перболу как киноперспективную про-екцию точки А.

Одной асимптотой этой гиперболы является траектория s движения цент-ра, а второй – вырожденная проекция того положения П⁴ картины П¢ ^¢, которое соответствует положению S⁴ центра S, проецирующего точку А параллельным ей лучом.

Если угол между асимптотами сде-лать острым (рис.12.31), то принцип построения точек гиперболы не изме-нится.

При этом вершины А и В гиперболы определятся в пересечении биссек-трисы острого угла между асимптотами с построенными её ветвями. Рассто-яние АВ = 2а является большой и дей-ствительной осью гиперболы, малая и мнимая ось СD = 2b, равна расстоянию между точками пересечения касатель-ных t¹ и t² в вершинах А и В с асимпто-тами. Директрисы и фокусы гипербол на рис.12.30 и 12.31 строятся по схеме рис.12.29.

4. Касательная t к гиперболе в её

произвольной точке М является биссек-трисой угла между её радиусами-векто-

рами F¹M и F²M.

5. Нормаль n к гиперболе перпен-дикулярна к касательной в точке М ка-сания и является биссектрисой угла, смежного с углом между радиусами-векторами (см. рис. 12.29).

6. Окружность, построенная на дей-ствительной оси АВ, является подэрой гиперболы относительно её фокуса F² (или F¹) (рис. 12.32).

7.При заданных фокусах F¹, F² и вершинах А и В положение директрис d¹ и d² определяется точками пересече-ния асимптот гиперболы с окружностью, построенной на действительной оси как на диаметре.

 

Рис. 12.33. Графическое построение

эволюты гиперболы

 

8. Эволютой одной ветви b гипербо-лы является кривая m_b c точкой О _в воз-врата первого рода в качестве центра кривизны гиперболы в вершине В как полюса вершинной хорды MN фока-льной окружности ОF¹ F² (рис.12.33).

9. Гипербола может быть задана:

9.1. Действительной полуосью ОА и фокусом F¹ (рис.12.34, а);

9.2. Действительной полуосью ОА и директрисой d¹ (рис. 12.34, б);

9.3. Действительной полуосью ОА и одной асимптотой k¹ (рис. 12.34, в);

9.4. Фокусом F¹, центром О и дирек-

трисой d¹ (рис. 12.34, г);

Рис.12.34. Различные варианты задания гиперболы

 

9.5. Фокусом F¹, центром О и одной

асимптотой k¹ (рис. 12.34, д);

9.6. Директрисой d¹, центром О и одной асимптотой k ¹ (рис.12.34, е).

 

4. Парабола. (рис.12.35, 12.36, см. также табл. 1, п.4).

1. Парабола – это выпуклая, глад-кая одноветвевая разомкнутая кривая линия с одной действительной осью симметрии, одним фокусом, одной ди-ректрисой и одной несобственной точ-кой (рис.12. 35).

2. Касательная t к параболе в про-извольной точке М является биссек-трисой угла между фокальным радиу-сом FM и перпендикуляром, опущен-ным из точки М на директрису d.

3. Нормаль n к параболе в произ-вольной точке М перпендикулярна к ка-

сательной t и делит угол, смежный с углом между фокальным радиусом и

 

Рис. 12. 35. Геометрическая модель параболы

 

перпендикуляром к директрисе, попо-лам.

4.Величина параметра р параболы или расстояния от основания D дирек-трисы d до фокуса F вдвое меньше её

фокальной хорды ВС.

5. Основание D директрисы d явля-

ется полюсом фокальной хорды ВС, а

фокус F – полюсом директрисы d и на-

оборот, директриса d является полярой фокуса F, а фокальная хорда ВС – по-лярой основания D директрисы d.

6. Главная касательная t¢ является подэрой параболы относительно её фо-

куса F, что даёт возможность её графи-

ческого построения как огибающей вто-

рые стороны прямых линейных углов, вершины которых инцидентны этой ка-

сательной (рис.12.36).

7. Эволютой параболы а является кривая m_a как огибающая последовате-

льные положения нормалей, перпенди-

кулярных к касательным в точках их ка-сания к параболе.

Графически точки касания парабо-

лы ко вторым звеньям производящей ломаной являются основаниями высот треугольников, образованных по счету

четными и нечетными положениями этих звеньев. Высоты этих треугольни-

ков определяют третьи звенья – норма-.

Рис.12.36 Подэрное преобразование прямой линии в параболу относительно её фокуса и построение её эволюты

 

ли к параболе, которые огибают её эво-люту.

По построению получается, что центр О_А кривизны параболы в вер-шине А удалён от фокуса F так же, как

фокус F удалён от вершины А, а верши-

на А, -- от директрисы d.