Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 онструктивные свойства




¬ архитектурном и дизайнерском проектировании наибольшее распро-странение имеют кривые линии второго пор€дка. ќни нос€т название коничес-ких сечений, так как их можно получить в результате пересечени€ поверхности пр€мого кругового конуса плоскост€ми различного положени€ по отношению к еЄ образующим (рис. 12.13).

 

–ис. 12.13. ¬иды конических сечений в зави-симости от положени€ секущей плоскости

 

≈сли плоскость пересекает все об-разующие и перпендикул€рна к оси вра-

щени€ конуса, то еЄ сечение называетс€

етс€ н о р м а л ь н ы м и €вл€етс€ окружностью.

 

 

–ис. 12.14. √еометрическа€ модель

эллипса, еЄ фокусов и директрис

–ис. 12.15. √еометрическа€ модель

параболы, еЄ фокуса и директрисы

 

 

≈сли плоскость пересекает все об-

разующие поверхности, но не перпен-

дикул€рна к оси еЄ вращени€, то в се-

чении будет замкнута€ крива€ Ц э л л и- п с (рис.12.14). ѕри этом фокусы F1 и F2

эллипса конструктивно €вл€ютс€ точка-

ми касани€ плоскости его кривизны поверхност€ми шаров, называемых ша-рами ƒанделена, вписанных в конус над и под этой плоскостью.

„то касаетс€ директрис d эллипса, то они €вл€ютс€ рЄбрами двугранных углов между секущей плоскостью a и параллельными плоскост€ми кривизны окружностей касани€ конической поверхности впи-санными в неЄ шарами ƒан-делена.

≈сли плоскость a пересе-кает все образующие кониче-ской поверхности кроме одной, то в сечении будет разомкнута€ крива€, содержаща€ одну не-собственную точку, -- п а р а Ц

б о л а (рис.12.15).

‘окусом F параболы €вл€етс€ точка касани€ шара ƒанделена с плоскостью еЄ кривизны, а директрисой Ц- лини€ пересечени€ этой плоскости с плоско-стью кривизны окружности а касани€ конической поверхности с вписанным в неЄ шаром.

≈сли плоскость a пере-секает все образующие кроме двух, то она пересекает обе полы конической поверхности, образу€ двухветвевую разом-кнутую линию с двум€ несоб-ственными точками, -- г и Ц

п е р б о л у (рис. 12.16).

‘окусами F1 и F2 гипер-болы конструктивно €вл€ютс€ точки касани€ к плоскости a еЄ кривизны двух конгруэнт-ных шаров ƒанделена, дирек-трисами d1, d2 Ц линии пере-сечени€ этой плоскости с дву-м€ плоскост€ми кривизны окружностей а и b касани€ шаров ƒанделена с данной конической поверхностью.

≈сли провести секущую плоскость

через вершину S конуса параллельно

плоскости a, то она рассечет его повер-

хность по двум пр€молинейным образу-

ющим, которые, будучи ортогонально спроецированными на плоскость a, оп-редел€т а с и м п т о т ы полученной гиперболы.

 

–ис. 12 16. √еометрическа€ модель гиперболы с еЄ фокусами, директрисами и асимптотами

 

≈сли вершину S прин€ть за центр проецировани€, то поверхность данного конуса станет проецирующей и линии, лежащие на ней, станут проецировать-с€ или преобразовыватьс€ друг в дру-га.

ƒругими словами, эллипс, параболу и гиперболу можно получить путем цен-трального проецировани€ окружности на соответственно расположенные пло-скости, что делает эти линии проек-тивно эквивалентными.

ѕри этом совершенно очевидно, что данна€ пространственна€ ситуаци€ полностью удовлетвор€ет геометричес-

ким услови€м теоремы ƒезарга и поэто-

му эллипс, парабола и гипербола есть плоские кривые, перспективно-коллине-

арные окружност€м касани€ соответст-

вующих шаров ƒанделена при цент-ре коллинеации в вершине конуса и ос€х коллинеации в виде соответствую-

щих директрис этих кривых.

≈сли вершину конуса удалить в бес-

 

–ис. 12.17. √еометрическа€ модель

эллипса, его фокусов и директрис на

цилиндрической поверхности

 

–ис.12.18. ѕр€мой угол опираетс€

на диаметр окружности (дугу в 180∞)

 

–ис.12.19. ”гол в 45∞ опираетс€ на

сторону вписанного квадрата (дугу в 90∞)

 

конечность, то его двухпольна€ по-верхность преобразуетс€ в однополь-ную цилиндрическую, проецирующую две конгруэнтные окружности касани€ шаров ƒанделена на наклонную секу-щую плоскость a в эллипс, фокусы F1, F2 и директрисы d1, d2 которого имеют такую же природу, как и у эллипса на поверхности конуса (рис.12.17).

 

 онструктивные свойства

кривых линий второго пор€дка

1. ќкружность. (рис.12.18Ч12.21, см. также табл.1, п.1).

1. Ћюбой диаметр ј¬ окружности а €вл€етс€ гипотенузой однопараметри-ческого множества пр€моугольных тре-угольников ј¬—, вершинами которых €вл€ютс€ точки этой окружности (рис. 12.18).

ѕолучаетс€, что линейный угол в 90∞ опираетс€ на дугу окружности в 180∞ и их отношение равно 1: 2. ќкружность замечательна тем, что это отношение сохран€етс€ дл€ любых действительных значений этих углов.

¬ частности, линейный угол в 45∞ опираетс€ на сторону вписанного ква-драта (центральный угол - 90∞), в 30∞,-- на сторону вписанного правильного ше-стиугольника (т.е., на 60∞) и т.д. (рис.

12.19).

ќтсюда общее правило: √радусна€ мера линейного угла, вписанного в окружность, вдвое меньше градусной меры центрального угла той дуги окружности, на которую этот линей-ный угол опираетс€.

2. ћедиана —ќ любого вписанного пр€моугольного треугольника ј¬— раз-бивает его на два равновеликих треуго-льника, основани€ высот которых рас-полагаютс€ на двух окружност€х, диа-метрами которых €вл€ютс€ половины гипотенузы ј¬, т.е., радиусы данной окружности (рис.12.20). ѕлощадь пр€-моугольника ќ1—2 вдвое меньше пло-щади D ј¬—.

3.ƒлина окружности, диаметром ко-торой €вл€етс€ радиус данной окружно-сти, равна длине половины данной ок-ружности.

4. ќкружность Ц выпукла€ гладка€ крива€, обладающа€ центральной сим-

метрией еЄ диаметрально противопо-ложных точек и осевой симметрией еЄ точек относительно любого диаметра.

4. ѕродолжение катетов ј— и ¬D, AD и ¬≈ двух любых исходных пр€моу-гольных треугольников, вписанных в ок-ружность, до взаимного пересечени€ в точках 1, 2, 3, 4 образует четырЄхуголь-

 

–ис. 12.20. ћедиана ќ— треугольника ј¬—

разбивает его на два равновеликих треугольника јќ— и ¬ќ—.

 

ники —1D2 и D3E4, диагонали 12 и 34 которых всегда перпендикул€рны к диа-метру ј¬ окружности как к общей гипо-тенузе этих треугольников (рис. 12.21).

 

–ис.12. 21. ѕостроение перпендикул€ров, опущенных из точек вне окружности не еЄ

диаметр.

 

¬ этом легко убедитьс€ пон€в, что эти диагонали €вл€ютс€ третьими вы-сотами образованных таким построе-нием остроугольных треугольников ј1¬ и ј3¬, две другие высоты которых €в-л€ютс€ катетами ј≈, јD, BC и BD, как бы заданными по условию.

2. Ёллипс. (рис.12.22 Ц 12.27, см. также табл. 1, п.2).

–ис.12. 22.  онструктивные элемен-

ты эллипса

 

–ис.12. 23. ѕодэрное преобразование окружности в эллипс и построение его эволюты

 

 

–ис. 12.24. —опр€женные диаметры дел€т сопр€женные с ними хорды пополам

 

 

1. Ёллипс Ц замкнута€ выпукла€

гладка€ крива€ лини€, обладающа€ од-ним центром симметрии и двум€ взаим-

но-перпендикул€рными ос€ми симме-

трии.

2. Ќормаль n к эллипсу в произволь-ной точке €вл€етс€ биссектрисой угла между еЄ радиусами-векторами, прихо-д€щими в эту точку.

3. ƒлины радиусов-векторов дл€ каждой точки эллипса типа соответ-ственно равны рассто€ни€м от вершин ј и ¬ эллипса до произвольной точки 1 на фокальном отрезке F1 F2.

4.  асательна€ t к эллипсу в про- извольной точке перпендикул€рна к соответствующей нормали и €вл€етс€ биссектрисой угла, смежного с углом ме-жду радиусами-векторами точки .

ќтсюда следует ѕ–ј¬»Ћќ:

Ѕиссектрисы произвольных углов между двум€ пересекающимис€ пр€мы-

ми всегда взаимно-перпендикул€рны.

5. —истема 4-х касательных в вер- шинах эллипса €вл€етс€ описан-ным вокруг него габаритным пр€-моугольником.

6. —истема 4-х касательных к эллипсу в концах двух его сопр€-женных диаметров €вл€етс€ опи-санным вокруг него параллело-граммом (рис.12.24).

7.—опр€женные диаметры де-

дел€т сопр€женные с ними хор-

ды пополам.

8. ≈сли в один из фокусов эл-липса поместить источник света или звука, то их лучи, отража€сь от эл-липса, соберутс€ во втором фокусе. Ёто свойство эллипса используетс€ в оптике и акустике.

9. Ёллипс €вл€етс€ линией, огиба-ющей совокупность последовательных положений одной стороны пр€мого ли-нейного угла, вершина которого пере-мещаетс€ по окружности, а втора€ сто-рона проходит через точку F внутри круга, ограниченного этой окружностью

(рис. 12.23).

ќпределение 12.8. √еометричес-

кое место компланарных оснований перпендикул€ров, опущенных из одной точки вне кривой линии на пр€мые, касательные к ней, называетс€ п о Ц

д э р о й или подошвенной линией данной кривой относительно данной

точки [ 52].

¬ данном случае окружность €вл€етс€ подэрой эллипса относительно его фо-куса F.

10. ѕри заданном положении фоку-са F мала€ ось эллипса равна фокаль-ной хорде окружности-подэры, проход€-щей через фокус перпендикул€рно бо-льшой оси ј¬ (рис. 12.25).

–ис.12.25. ѕостроение малой оси эллипса и

директрисы по заданной большой полуоси и

одному фокусу.

 

 

11. ѕри заданном фокусе F2 рассто-€ние OL до соответственной ему дирек-трисы d2 равно длине гипотенузы ќ≈ пр€моугольного треугольника ќ¬≈, по-добного треугольнику OF1N, один катет которого равен полуфокальному рассто-€нию с, а второй Ц величине малой по-луоси ќ—.

12. ќснование L правой директрисы d2 €вл€етс€ точкой пересечени€ касате-льных t1 и t2 к окружности радиуса, рав-ного большой полуоси эллипса, в кон-цах M и N еЄ фокальной хорды.

ќпределение 12.9. ’орда окружно-сти, соедин€юща€ точки касани€ к ней двух пр€мых, выход€щих из одной точ-ки вне еЄ, называетс€ п о л € р о й этой точки относительно данной ок-ружности.

ќпределение 12.10. “очка, из ко-торой проведены две касательные к данной окружности, называетс€ п о Цл ю с о м еЄ хорды, соедин€щей точки касани€.

“ак как все кривые второго пор€дка проективно-эквивалентны (потому, что могут взаимно преобразовыватьс€ друг

в друга), то отношение полюсов и пол€р

–ис. 12.26. ѕостроение точек эллипса

по его большой и малой ос€м

 

–ис.12.27. ќпределение осей

эллипса по его заданным элементам

 

 

относительно окружности сохран€етс€ и

относительно эллипса, параболы и ги-перболы.

13.¬ силу взаимности отношени€ по-люсов и пол€р относительно кривой

линии второго пор€дка основание дирек-

трисы эллипса €вл€етс€ полюсом еЄ фокальной хорды, котора€, в свою оче-редь, €вл€етс€ пол€рой основани€ ди-ректрисы.

14. ‘окус эллипса €вл€етс€ полю-сом его директрисы, котора€, в свою очередь, €вл€етс€ пол€рой его фокуса.

15. Ёллипс, задаваемый большой и малой ос€ми, €вл€етс€ геометрическим местом вершин пр€мого угла пр€моуго-льного треугольника, длина гипотенузы которого равна разности длин радиусов двух концентрических окружностей, по-строенных на этих ос€х, а катеты им со-ответственно параллельны (рис.12. 26). Ёто свойство преимущественно испо-льзуетс€ в архитектурном черчении дл€ построени€ точек эллипса по двум его ос€м.

≈сли эллипс задаЄтс€ другими его элементами (фокусами, вершинами, ди-ректрисами, сопр€женными диаметрами в различных сочетани€х), то графичес-кие способы его построени€ свод€тс€ к нахождению по этим элементам его бо-льшой и малой оси.

16. Ёллипс может быть задан:

16.1.Ѕольшой ј¬ и малой —D ос€ми

или их половинами (рис. 12.26).

16.2.Ѕольшой полуосью ќј и одним

фокусом F1 (рис.12.27, а).

16.3.Ѕольшой полуосью ќј и одной

директрисой d1 (рис. 12.27, б).

16.4.ќдной директрисой d1 и одним

фокусом F1 (рис. 12.27, в).

16.5.ќдной директрисой d1 и малой

полуосью ќ— (рис.12.27, г).

16.6.ќдним фокусом F1 и малой по-

луосью ќ— (рис. 12.27, д).

16.7.ƒвум€ сопр€женными диамет-

рами 12 и 34 (рис.12.28).

17. ƒл€ графического построени€ большой ј¬ и малой —D осей эллипса по его заданным сопр€женным диамет-рам 12 и 34 необходимо (рис.12.28):

1. полудиаметр ќ2 повернуть на 90∞, переместив точку 2 в положение точки 5;

2. соединить точку 5 с точкой 3 и оп-

ределить середину 6 отрезка 35;

3.. радиусом ќ6 из точки 6 как из

центра провести окружность до пересе-чени€ с пр€мой, определ€емой точками 3 и 5, в точках 7 и 8;

4. соединить точку ќ с точками 7 и 8, определив тем самым направлени€ большой ј¬ и малой —D осей искомого эллипса;

–ис. 12. 28. ѕостроение большой ј¬ и малой —D осей эллипса по его сопр€женным диаметрам 12 и 34.

 

5. отложить по направлению ќ7 ве-личину малых полуосей ќ— и ќD, рав-ную отрезку 57, а больших полуосей,- равную отрезку 58 диаметра 78 вспомо-гательной окружности с центром в точ-ке 6;

6. ѕостроение остальных точек эл-липса производить по рис.12.26.

 

3. √ипербола (рис.12.29 - 12.31,

см. также табл.1, п.3).

1. √ипербола Ц выпукла€, гладка€, разомкнута€ двухветвева€ лини€ с од-ной действительной и одной мнимой ос€ми симметрии, с двум€ параллель-ными директрисами и с двум€ пересе-кающимис€ пр€молинейными асимпто-тами, с которыми еЄ криволинейные ве-тви стрем€тс€ пересечьс€ в бесконеч-ности (рис. 12.29).

 

 

–ис.12.29. √еометрическа€ модель гиперболы

 

–ис. 12.30. √ипербола как киноперс-пективна€ проекци€ точки

 

–ис. 12.31. ¬ид гиперболы при

остром угле между еЄ асимптотами

 

 

–ис. 12.32. ѕодэрное преобразование

окружности в гиперболу относитель-

но еЄ фокуса

 

 

2. ƒлины радиусов-векторов дл€ ка-

ждой точки гиперболы типа ћ¢ равны рассто€ни€м от еЄ вершин до соот-ветствующих точек типа ћ, вз€тых на продолжении еЄ действительной оси.

3. ѕредставл€€ гипер-болу как траекторию движе-ни€ точки, рассмотрим слу-чай еЄ образовани€ в резу-льтате центрального подви-жного проецировани€ непо-движной точки ј в неизме-н€емой проекционной сис-теме S - ѕ¢ [ 89].

«десь s Ц траектори€ движени€ центра S, кото-рый занимает на ней р€д последовательных положе-

ний S1, S 2, S3, ЕS n.

 артина ѕ¢ ^ s, удалЄн-

на€ от центра S на посто-€нное рассто€ние f, переме-щаетс€ параллельно самой себе, за-нима€ фронтально-проецирующие поло-жени€ ѕ1, ѕ2, ѕ3, Е ѕ n. ѕроециру€ точку ј из подвижного центра S на подвижную картину ѕ¢, получаем р€д точек пересе-чени€ проецирующих лучей с соответ-ствующими положени€ми картины, ко-торые, будучи соединЄнными непреры-вной линией, образуют равнобокую ги-перболу как киноперспективную про-екцию точки ј.

ќдной асимптотой этой гиперболы €вл€етс€ траектори€ s движени€ цент-ра, а второй Ц вырожденна€ проекци€ того положени€ ѕ4 картины ѕ¢ ¢, которое соответствует положению S4 центра S, проецирующего точку ј параллельным ей лучом.

≈сли угол между асимптотами сде-лать острым (рис.12.31), то принцип построени€ точек гиперболы не изме-нитс€.

ѕри этом вершины ј и ¬ гиперболы определ€тс€ в пересечении биссек-трисы острого угла между асимптотами с построенными еЄ ветв€ми. –ассто-€ние ј¬ = 2а €вл€етс€ большой и дей-ствительной осью гиперболы, мала€ и мнима€ ось —D = 2b, равна рассто€нию между точками пересечени€ касатель-ных t1 и t2 в вершинах ј и ¬ с асимпто-тами. ƒиректрисы и фокусы гипербол на рис.12.30 и 12.31 стро€тс€ по схеме рис.12.29.

4.  асательна€ t к гиперболе в еЄ

произвольной точке ћ €вл€етс€ биссек-трисой угла между еЄ радиусами-векто-

рами F1M и F2M.

5. Ќормаль n к гиперболе перпен-дикул€рна к касательной в точке ћ ка-сани€ и €вл€етс€ биссектрисой угла, смежного с углом между радиусами-векторами (см. рис. 12.29).

6. ќкружность, построенна€ на дей-ствительной оси ј¬, €вл€етс€ подэрой гиперболы относительно еЄ фокуса F2 (или F1) (рис. 12.32).

7.ѕри заданных фокусах F1, F2 и вершинах ј и ¬ положение директрис d1 и d2 определ€етс€ точками пересече-ни€ асимптот гиперболы с окружностью, построенной на действительной оси как на диаметре.

 

–ис. 12.33. √рафическое построение

эволюты гиперболы

 

8. Ёволютой одной ветви b гипербо-лы €вл€етс€ крива€ mb c точкой ќ в воз-врата первого рода в качестве центра кривизны гиперболы в вершине ¬ как полюса вершинной хорды MN фока-льной окружности ќF1 F2 (рис.12.33).

9. √ипербола может быть задана:

9.1. ƒействительной полуосью ќј и фокусом F1 (рис.12.34, а);

9.2. ƒействительной полуосью ќј и директрисой d1 (рис. 12.34, б);

9.3. ƒействительной полуосью ќј и одной асимптотой k1 (рис. 12.34, в);

9.4. ‘окусом F1, центром ќ и дирек-

трисой d1 (рис. 12.34, г);

–ис.12.34. –азличные варианты задани€ гиперболы

 

9.5. ‘окусом F1, центром ќ и одной

асимптотой k1 (рис. 12.34, д);

9.6. ƒиректрисой d1, центром ќ и одной асимптотой k 1 (рис.12.34, е).

 

4. ѕарабола. (рис.12.35, 12.36, см. также табл. 1, п.4).

1. ѕарабола Ц это выпукла€, глад-ка€ одноветвева€ разомкнута€ крива€ лини€ с одной действительной осью симметрии, одним фокусом, одной ди-ректрисой и одной несобственной точ-кой (рис.12. 35).

2.  асательна€ t к параболе в про-извольной точке ћ €вл€етс€ биссек-трисой угла между фокальным радиу-сом FM и перпендикул€ром, опущен-ным из точки ћ на директрису d.

3. Ќормаль n к параболе в произ-вольной точке ћ перпендикул€рна к ка-

сательной t и делит угол, смежный с углом между фокальным радиусом и

 

–ис. 12. 35. √еометрическа€ модель параболы

 

перпендикул€ром к директрисе, попо-лам.

4.¬еличина параметра р параболы или рассто€ни€ от основани€ D дирек-трисы d до фокуса F вдвое меньше еЄ

фокальной хорды ¬—.

5. ќснование D директрисы d €вл€-

етс€ полюсом фокальной хорды ¬—, а

фокус F Ц полюсом директрисы d и на-

оборот, директриса d €вл€етс€ пол€рой фокуса F, а фокальна€ хорда ¬— Ц по-л€рой основани€ D директрисы d.

6. √лавна€ касательна€ €вл€етс€ подэрой параболы относительно еЄ фо-

куса F, что даЄт возможность еЄ графи-

ческого построени€ как огибающей вто-

рые стороны пр€мых линейных углов, вершины которых инцидентны этой ка-

сательной (рис.12.36).

7. Ёволютой параболы а €вл€етс€ крива€ ma как огибающа€ последовате-

льные положени€ нормалей, перпенди-

кул€рных к касательным в точках их ка-сани€ к параболе.

√рафически точки касани€ парабо-

лы ко вторым звень€м производ€щей ломаной €вл€ютс€ основани€ми высот треугольников, образованных по счету

четными и нечетными положени€ми этих звеньев. ¬ысоты этих треугольни-

ков определ€ют третьи звень€ Ц норма-.

–ис.12.36 ѕодэрное преобразование пр€мой линии в параболу относительно еЄ фокуса и построение еЄ эволюты

 

ли к параболе, которые огибают еЄ эво-люту.

ѕо построению получаетс€, что центр ќј кривизны параболы в вер-шине ј удалЄн от фокуса F так же, как

фокус F удалЄн от вершины ј, а верши-

на ј, -- от директрисы d.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 950 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬елико ли, мало ли дело, его надо делать. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1613 - | 1285 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.124 с.