Изобразительные свойства ортогональных проекций параболы

( рис.12.49)

 

К числу конструктивных элементов параболы относятся ось і, фокус F, ди-ректриса d и пара касатель-ных, проведенных к ней из внешней точки K.

Рассмотрим общий слу-чай, когда плоскость кривиз-ны параболы занимает об-щее положение и задана проекциями равнобедренно-го треугольника MNK, ос-нование МN которого явля-ется произвольная хорда параболы, а сторонами, - ка-сательные к ней, пересека-ющиеся в вершине К (рис. 12.49).

Известно, что кривая второго порядка является гладкой линией, огибаю- щей свои касательные.

Определение 12.14. Сис-тема компланарных пря-мых, касательных к кривой линии второго порядка, на-зывается пучком прямых второго порядка.

Если, имея две касательные прямые, построить на их основе пучок прямых второго порядка, то линией, огибающей лучи этого пучка, будет парабола.

Для построения такого пучка необ-

ходимо установить конструктивное со-ответствие между точками двух рядов

KM и KN, для чего эти отрезки следует

разбить на равное количество одинако-

вых частей точками 1, 2,…7 как показано

на рис.12.49.

Соединив соответственные точки, получим две проекции искомых пучков касательных 2-го порядка. Кривые линии а₁ и а₂, огибающие проекции этих пучков, будут искомыми ортогональными проек-циями параболы.

Если соединить проекции К₁ и К₂ то-чки К с проекциями Е₁ и Е₂ середины Е хорды MN, то определятся проекции оси

ЕК (i) параболы. Пересечение і₂ с а₂

определяет фронтальную проекцию А₂ вершины А параболы а, аналогично А₁

определяется в пересечении і₁ с а₁.

Проекции t₁ и t₂ главной касательной t проходят черезодноименные проекции

вершины А параллельно проекциям хор-ды MN параболы а.

Для того, чтобы построить ортогона-льные проекции фокуса F и директрисы d следует обратить внимание на то, что построенные проекции і₁ и і₂ оси пара-болы а не являються осями её построен-ных проекций а₁ и а₂, которые также являються параболами, но иных конст--руктивних характеристик. Каждая из них имеет свою вершину, ось, главную каса-тельную и директрису. При этом, постро-енные для каждой проекции в отдельно-сти, они характеризуют их внутреннюю геометрию, но не изображают искомых фокуса и директрисы параболы а, хотя впределах каждой проекции между нимисуществует родственное соответствие.

Поэтому обозначения искомых элемен-тов горизонтальной проекции а₁ какса-мостоятельной параболы, будемсопро-вождать одним штрихом, а фронтальных – двумя штрихами.

Для построения вершин А¢ и А² па-рабол а₁ и а₂ достаточно провести глав-ные касательные t¢ и t² к а₁ и а₂ пер-пендикулярные к проекциям К₁Е₁ и К₂Е₂ их осей. Точки касаниябудут искомыми вершинами проекций а₁ и а₂ параболы, через которые пройдут оси этих проек-ций, параллельные проекциям і₁ и і_{2 .}

Для построения фокусов F¢ и F² про-екций а₁ и а₂ воспользуемся ролью глав-ных касательных t¢ и t² как их подэр относительно их фокусов. В итоге фокус

F¢ ветви а₁ строится в пересечении оси і¢ с перпендикуляром в касательной К₁N₁ из точки её пересечения с касательной t¢, а F² -аналогично, в пересечении оси і² с перпендикуляром из точки пересече-ния касательной М₂К₂ с t².

Соединив А₁ с А¢ и А ₂ с А², опреде-ляем для каждой проекции направление

 

 

Рис. 12.50. Геометрическая модель цилиндрической винтовой линии

 

родства, параллельно которому по F¢ на і₁ строим F₁, а по F² строим на і₂ - F₂.

Директрисы d¢ и d² проекций а₁ и а ₂ отстоят от вершин А ¢ и А ² на расстоя-ния, равные расстояниям от этих вер-шин до своих фокусов, равно как проек-ции d₁ и d₂ директрисы d отстоят от А₁ и А₂ по і₁ и і₂ на расстояния от них до соответствующих фокусов F₁ и F_2.

Углы между проекциями осей и глав-ных касательных не прямые потому, что плоскость кривизны изображаемой па-раболы занимает в пространстве общее положение.