Системы случайных величин

Если результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, то имеем дело с системой случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин Х, У,..., W обозначать (Х, У,..., W).

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, ее составляющих; помимо этого они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами.

Законы распределения системы случайных величин.

Функцией распределения системы двух случайных величин (Х, У) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X<x и Y<y:

.

 

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е.

при ;

при .

2. Повсюду на - ∞ функция распределения равна нулю:

3. При одном из аргументов, равном + ∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

где соответственно функции распределения случайных величин Х и У.

4. Если оба аргумента равны + ∞, функция распределения системы равна единице:

 

Через функцию распределения легко решается задача вычисления вероятности попадания случайной точки в заданную область, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям:

Где координаты вершин четырех бесконечных квадранта на плоскости х0у.

Плотностью распределения системы двух случайных величин называется функция, которая представляет собой вторую смешанную частную производную функции по х и у, обозначается как

 

Для плотности вероятности системы вводится понятие «элемента вероятности», который показывает вероятность попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами примыкающий к точке (х,у)

Пользуясь понятием элемента вероятности, легко решается задача вычисления вероятности попадания случайной точки в произвольную область D:

.

Из этой формулы вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник R, ограниченный абсциссами и и ординатами и

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы выразить функцию распределения системы двух случайных величин через плотность распределения:

Плотность распределения обладает следующими двумя свойствами:

1. Плотность распределения системы есть функция неотрицательная: .

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

 

Законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Условные законы распределения.

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему. Воспользовавшись третьим свойством функции распределения и интегральной связью между функцией распределения и плотностью распределения, напишем

Откуда, дифференцируя по х, получим выражение для плотности распределения величины Х

Аналогично

Приведенные формулы дают возможность, зная закон распределения системы, найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Естественно, возникает вопрос об обратной задаче: нельзя ли по законам распределения отдельных величин, входящих в систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общем случае сделать этого нельзя, так как для этого нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость характеризуется с помощью, так называемых условных законов распределения.

Условным законом распределения величины Х, входящей в систему (Х,У), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина У приняла определенное значение у. Условная функция распределения обозначается условная плотность распределения

Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы. Вывод формулы опирается на использование теоремы умножения вероятностей для зависимых событий:

Эту формулу часто называют теоремой умножения законов распределения. Аналогично можно написать:

Разрешая эти формулы относительно условных законов распределения, получаем:

или