Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕроверка статистических гипотез. ѕроверка гипотез о законе распределени€




 

»нформаци€, полученна€ по выборке, может быть использована дл€ оценки правомерности некоторых предположений (гипотез) о генеральной совокупности.

—татистической гипотезой называют любое утверждение о виде или свойствах распределени€ наблюдаемых в эксперименте случайных величин.

√ипотезы о неизвестном параметре Θ распределени€ бывают простые (Θ = Θ0) и сложные (Θ < Θ0, Θ > Θ0, Θ ≠ Θ0).

ѕровер€емую гипотезу обозначают H 0, альтернативную Ц H 1. √ипотезу провер€ют на основании выборки. —лучайный характер выборки может приводить к ошибкам. ќшибка первого рода имеет место тогда, когда отвергаетс€ верна€ гипотеза H 0. ¬еро€тность такой ошибки называетс€ уровнем значимости и обозначаетс€ α. „ем меньше α, тем меньше веро€тность отклонить верную гипотезу.

ѕри ошибке второго рода отвергаетс€ верна€ на самом деле альтернативна€ гипотеза Ц H 1 (принимаетс€ неверна€ гипотеза H 0). ¬еро€тность этой ошибки обозначают через β, а (1Цβ) называетс€ мощностью критери€. ќбычно при заданном уровне значимости α отыскиваетс€ критерий с наибольшей мощностью.

ѕроверка статистической гипотезы состоит из следующих этапов:

- определение гипотез H 0 и H 1;

- выбор статистики критери€ (испытывать гипотезу можно на основе любой статистики, имеющей любое веро€тностное распределение) и задание уровн€ значимости α;

- по статистике критери€ и уровню значимости α определ€ют границу (квантиль), определ€ющую критическую область (т.е. область отклонени€ гипотезы H 0);

- по выборке подсчитывают значение критери€;

- если фактически наблюдаемое значение критери€ попадает в критическую область, то основна€ гипотеза H 0 отклон€етс€ и принимаетс€ H 1.

ѕроверка гипотез о законе распределени€

–ассмотрим, как можно проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности.

ѕусть (x 1, x 2, Е xm) Ц выборка из генеральной совокупности ξ с неизвестной функцией распределени€, о которой выдвинута проста€ гипотеза H 0: F ξ(x)= F (x), где F (x) полностью задана. Ёто распределение назовем теоретическим. јльтернативное распределение в данном случае не конкретизируетс€ и речь идет просто о согласии данных и гипотезы H 0.

ƒл€ проверки таких гипотез разработано несколько критериев согласи€, раиболее известным €вл€етс€ критерий ѕирсона (χ2: хи-квадрат). ѕри использовании χ2 Цкритери€ вс€ область изменени€ генеральной совокупности делитс€ на m интервалов (которые могут иметь различную длину). ѕо выборке по этим же интервалам составл€етс€ статистический р€д (xini, где n Ц объем выборки: ) и вычисл€ютс€ оценки параметров теоретического распределени€. “ем самым теоретическое распределение будет полностью определено. “еперь по теоретическому распределению подсчитывают веро€тности pi того, что случайна€ величина X принимает значени€ из i -го интервала по формуле

P (α≤X≤β) = F (β)Ц F (α).

ѕо найденным pi ищутс€ теоретические частоты (mi = n Ј pi).

√ипотеза H 0 верна, если теоретические (mi) и эмпирические (ni) частоты достаточно мало отличаютс€ друг от друга. ¬ 1900 году  . ѕирсон предложил использовать в качестве меры отклонени€ эмирических данных (ni) от гипотетических значений (mi) следующую статистику

—огласно теореме ѕирсона эта величина при имеет χ2 Ц распределение с числом степеней свободы (k = m Ц r Ц1), m Ц число интервалов выборки, r Ц число параметров гипотетического распределени€. „ем больше χ2, тем хуже согласованы теоретическое и эмпирическое распределени€.

ѕоскольку относительна€ частота событи€ €вл€етс€ состо€тельной оценкой его веро€тности, то при больших n разности в сумме должны быть малы и, следовательно, значение статистики не должно быть слишком большим. ѕри достаточно большом значении χ2 нужно отвергнуть гипотезу H 0. ѕоэтому естественно задать только правостороннюю критическую область дл€ гипотезы H 0 в виде , где критическа€ граница t α при заданном уровне значимости α должна быть выбрана из услови€

ѕример 32. ѕользу€сь критерием согласи€ ѕирсона, проверить при уровне значимости α=0,01 гипотезу H 0 о том, что случайна€ величина X, статистический р€д которой приведен в таблице, распределена по нормальному закону.

»нтервалы значений xi (-4, -3) (-3, -2) (-2, -1) (-1, 0)
ќтносительные частоты pi * 0,012 0,050 0,144 0,266
»нтервалы значений xi (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4)
ќтносительные частоты pi * 0,240 0,176 0,092 0,020

 

–ешение. ƒл€ вычислени€ веро€тностей pi необходимо вычислить параметры, определ€ющие нормальный закон распределени€ (a и σ). »х оценки, рассчитанные по выборке объемом n = 500, дадут значени€ и .

»спользу€ формулу

,

находим дл€ каждого i -го интервала веро€тность pi (веро€тность попадани€ в i -й интервал случайной величины X, подчиненной нормальному закону распределени€ с параметрами , ) и результат оформим таблицей.

 

»нтервалы значений xi (-4, -3) (-3, -2) (-2, -1) (-1, 0)
¬еро€тности pi 0,0126 0,0522 0,1422 0,2433
»нтервалы значений xi (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4)
¬еро€тности pi 0,2668 0,1789 0,0770 0,0212

 

ѕо данным двух таблиц вычислим наблюдаемое значение статистики ѕирсона χ2 . ѕолучим χ2 = 3,99.

“еперь определ€ем число степеней свободы k; так как количество интервалов равно m =8, а число параметров нормального распределени€ r =2, то k =8Ц2Ц1=5. ѕо таблице распределени€ ѕирсона дл€ k =5 и α=0,01 найдем “ак как , то нет оснований отвергать провер€емую гипотезу.

 


4 ѕ–»Ќ÷»ѕџ ѕќ—“–ќ≈Ќ»я
ћј“≈ћј“»„≈— »’ ћќƒ≈Ћ≈…

 

ќсновна€ цель и задача современной математики, по-видимому, состоит в реализации универсального математического метода познани€. Ёто предполагает в первую очередь построение новых математических моделей в биологии, мироздании, микромире, в экономических и социальных €влени€х.

¬ сравнении с натуральным экспериментом математическое моделирование имеет следующие преимущества:

- экономичность;

- возможность моделировани€ гипотетических, то есть не реализованных в натуре объектов;

- возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроизводимых (критический режим €дерных реакторов и др.);

- возможность изменени€ масштабов времени;

- легкость многоаспектного анализа;

- больша€ прогностическа€ сила.

ѕостановка задачи (по ћинскому): объект ј €вл€етс€ моделью объекта ¬, если наблюдатель с помощью ј получает интересующие его сведени€ относительно ¬.

ћодель концентрирует в себе записанную на определенном €зыке (естественном, алгоритмическом, математическом) совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте или €влении.

ћодель лишь приближенно описывает поведение реальной системы, так как знани€ не бывают абсолютными, а гипотезы вынужденно или намеренно не учитывают некоторые эффекты.

—. Ѕалтеру принадлежит высказывание: Ђ’от€ аналоги€ часто вводит в заблуждение, это наименьшее из того, что вводит нас в заблуждениеї.

Ёто мысль подтверждаетс€ важнейшей особенностью модели, котора€ состоит в том, что знани€ об объекте можно неограниченно накапливать и при этом не тер€ть целостного взгл€да на него.

ѕри исследовании сложных систем может потребоватьс€ набор моделей, соответствующих различным уровн€м рассмотрени€.

Ђѕолна€ї модель будет полностью соответствовать оригиналу в смысле, что Ђнаилучшей моделью кота €вл€етс€ тот же самый котї.

јдекватность модели устанавливаетс€ проверкой дл€ нее основных законов и сопоставлением результатов моделировани€ частных вариантов с известными дл€ этих вариантов решени€ми (тестирование).

ћодель всегда содержит параметры. «адачей идентификации €вл€етс€ определение значений рабочих параметров модели. ќни определ€ютс€ в результате наблюдени€ над реальной системой. –ешаетс€ задача по минимизации функционала отклонени€ траектории модели от траектории исследуемой системы. “радиционно примен€ютс€ метод наименьших квадратов и наибольшего правдоподоби€. ¬ы€вление значимых параметров и пренебрежение остальными позвол€ет уменьшить их число. ƒл€ этого считают коэффициенты чувствительности (регрессии) выходных показателей по отношению к входным.

ѕри классификации методов моделировани€ и моделей различают аналитические, имитационные и комбинированные модели.

¬ аналитическом моделировании функционирование системы записывают в виде алгебраических, интегральных, дифференциальных и других соотношени€х и логических условий.

јналитическа€ модель может быть исследована следующими методами:

а) качественным, когда устанавливаютс€ лишь некоторые свойства решени€;

б) аналитическим, когда стрем€тс€ получить €вные зависимости дл€ искомых характеристик;

в) численным, когда получают числовые значени€ дл€ заданных входных данных.

ћатематическа€ модель может использоватьс€ традиционным способом, т.е. дл€ получени€ какого-то частного решени€, но и в сфере управлени€ она успешно примен€етс€ дл€ имитационного моделировани€.

ѕри имитационном моделировании алгоритм, реализующий модель, воспроизводит процесс функционировани€ системы во времени и в пространстве. »митационное моделирование применимо к задачам, не поддающимс€ аналитическим и численным методам. ≈го иногда называют статистическим, поскольку заключительна€ обработка результатов выполн€етс€ методами математической статистики.

»митационное моделирование позвол€ет оценить различные стратегии, обеспечивающие достижение цели данной системы.

»так, модель нужна дл€ того, чтобы:

- пон€ть, как устроен конкретный объект (его структура, свойства, законы развити€);

- определ€ть наилучшие способы управлени€ объектом или процессом при заданных цел€х и критери€х;

- прогнозировать последстви€ воздействи€ на объект.

 






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2586 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2236 - | 1958 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.02 с.