Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


»нтервальные оценки. ƒоверительные интервалы дл€ параметров нормального распределени€




 

“очечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть прин€ты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. »х недостаток заключаетс€ в том, что неизвестно, с какой точностью оцениваетс€ параметр. ≈сли дл€ выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состо€тельности оценок), то дл€ выборок небольшого объема вопрос точности оценок становитс€ очень важным.

¬ведем пон€тие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины x, определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). ќбозначим этот параметр через D.

ѕо сделанной выборке по определенным правилам найдем числа D1 и D2, так чтобы выполн€лось условие:

P (D1< D < D2) =P (DÎ(D1; D2)) = g.

„исла D1 и D2 называютс€ доверительными границами, интервал (D1, D2) Ц доверительным интервалом дл€ параметра D. „исло g называетс€ доверительной веро€тностью или надежностью сделанной оценки.

—начала задаетс€ надежность. ќбычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. “огда веро€тность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (D1, D2) достаточно высока.

„исло (D1 + D2)/2 Ц середина доверительного интервала Ц будет давать значение параметра D с точностью (D2 Ц D1)/2, котора€ представл€ет собой половину длины доверительного интервала.

√раницы D1 и D2 определ€ютс€ из выборочных данных и €вл€ютс€ функци€ми от случайных величин x 1, x 2,..., xn , а следовательно Ц сами случайные величины.

ќтсюда Ц доверительный интервал (D1, D2) тоже случаен. ќн может покрывать параметр Dили нет. »менно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающеес€ в том, что доверительный интервал покрывает число D.

 

ƒоверительный интервал дл€ математического ожидани€
нормального распределени€ при известной дисперсии

ѕусть случайна€ величина x (определенна€ на множестве объектов генеральной совокупности) распределена по нормальному закону, дл€ которого известна дисперси€ D [x] = s2 (s > 0). »з генеральной совокупности делаетс€ выборка объема n: „тобы подчеркнуть случайный характер величин , будем рассматривать их как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же, как ξ:

ћожно доказать, что случайна€ величина (выборочное среднее) также распределена по нормальному закону с математическим ожиданием M = M x = a и дисперсией , т.е.

ќбозначим неизвестную величину M x через a и подберем по заданной надежности gчисло Δ > 0 так, чтобы выполн€лось условие:

P (| Ц a | < Δ) =g. (7)

 ак известно, веро€тность того, что случайна€ величина принимает значение в интервале (a Цl, a +l), симметричном относительно центра рассе€ни€ a, вычисл€етс€ по формуле:

»спользу€ вышеприведенную формулу, получаем

ќсталось подобрать Δ так, чтобы выполн€лось равенство

ƒл€ любого gÎ [0; 1] по таблице Ђ«начение функции Ћапласаї можно найти аргумент (число t g), чтобы F0(t g) =g/2.

“еперь из равенства определим значение Δ:

.

ќкончательный результат получим, представив формулу (7) в виде:

.

—мысл последней формулы состоит в следующем: с надежностью g доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр a = M xгенеральной совокупности.

ћожно сказать иначе: точечна€ оценка определ€ет значение параметра M x с точностью и надежностью g.

ѕример 29. —реднее содержание вредных примесей, определенных на основании выборки, равно 18,307 мг; найти доверительный интервал дл€ а Ц истинного содержани€ вредных примесей с надежностью (1Цα)=0,95. —реднее квадратическое отклонение известно и равно σ = 0,0029 мг. ќбъем выборки n =5.

–ешение. ”читыва€, что g = (1Цα) = 0,95 и F0(t g) =g/2 = 0.475, по таблице Ђзначение функции Ћапласаї вы€сн€ем, что t g=1,96. “огда предельна€ погрешность интервального оценивани€

»скомый доверительный интервал равен

18.307Ц0.0025 < а < 18.307+0.0025, или 18.3015 < а < 18.3095.

—леду€ полученному результату, можно утверждать, что если будет произведено достаточно большое число выборок, то только в 5 случа€х из 100 содержание вредных примесей может выйти за границы доверительного интервала.

 

ƒоверительный интервал дл€ математического ожидани€
нормального распределени€ при неизвестной дисперсии

ѕусть x Ц случайна€ величина, распределенна€ по нор≠мальному закону с неизвестным математическим ожиданием M x(которое обозначим буквой a) и неизвестным σ. ѕроизведем выборку объема n. ќпределим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию

–ассмотрим случайную величину , котора€ (доказываетс€) будет распределена по закону —тьюдента с
(n Ц 1) степен€ми свободы.

«адача заключаетс€ в том, чтобы по заданной надежности g и по числу степеней свободы (n Ц 1) найти такое число T g, чтобы выполн€лось равенство

или , (8)

или эквивалентное равенство

«десь в скобках Ц условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и €вл€етс€ доверительным интервалом. ≈го границы завис€т от надежности g, а также от параметров выборки и S.

„тобы определить значение tg по величине g, равенство (8) преобразуем к виду:

“еперь по таблице Ђ вантили распределени€ —тьюдентаї дл€ случайной величины t g, распределенной по закону —тьюдента, по веро€тности 1 Ц g и числу степеней свободы n Ц 1 находим t g и, следовательно, искомый доверительный интервал:

ѕример 30. ѕо условию примера 29, найти дл€ истинного содержани€ вредных примесей доверительный интервал с надежностью 0,95, счита€ неизвестной дисперсию генеральной совокупности. –ассчитанное по выборке исправленное среднее квадратическое отклонение S = 0,0029 мг.

–ешение. ѕо таблице Ђ вантили t Ц распределени€ —тьюдентаї определим критические точки по заданной доверительной веро€тности g = (1Цα) = 0,95 и числу степеней свободы k = n Ц 1 = 5 Ц 1 = 4. ѕолучим t g = 2,78. ¬ычислим предельную погрешность интервального оценивани€

»скомый доверительный интервал равен

18.307Ц0.0036 < а < 18.307+0.0036, или 18.3034 < а < 18.3106.

—равнива€ доверительные интервалы, накрывающие с одной и той же доверительной веро€тностью 0,95 истинное содержание вредных примесей, в случае, когда генеральна€ дисперси€ известна и когда неизвестна, видим, что во втором случае доверительный интервал получаетс€ более широкий. ќднако при объеме выборки n > 30 эти отличи€ станут незначительными.

 

ƒоверительный интервал дл€ дисперсии нормального
распределени€

ѕусть случайна€ величина x распределена по нормальному закону, дл€ которого математическое ожидание M x = a идисперси€ неизвестны. ƒелаетс€ выборка объема n. »з нее определ€етс€ исправленна€ выборочна€ дисперси€ ¬водим случайную величину , распределенную по законуc2c (n Ц1) степен€ми свободы.

ѕо заданной надежности g можно найти сколько угодно границ c12 и c22 интервалов, таких, что

Ќайдем c12 и c22 из следующих условий:

(9)   (10)

¬ таблице Ђ вантили распределени€ ї дл€ случайной величины c2 обычно даетс€ решение уравнени€
P (c2 ³ cα2) = α. »з такой таблицы по заданной величине α и по числу степеней свободы n Ц 1 можно определить значение cα2. “аким образом, сразу находитс€ значение c22 в формуле (10).

ƒл€ определени€ c12 преобразуем (9):

P (c2 ³ c12) = 1 Ц (1 Ц g)/ 2 = (1 + g)/ 2.

ѕолученное равенство позвол€ет определить по названной таблице значение c12.

“еперь, когда найдены значени€ c12 и c22, представим исходное равенство в виде . »ли

ѕоследнее равенство перепишем в такой форме, чтобы были определены границы доверительного интервала дл€ неизвестной величины D x:

«десь

≈сли математическое ожидание M x = a известно, то доверительный интервал дл€ неизвестной величины D x будет иметь вид:

где

 

ѕример 31. ѕрин€в числовые данные примера 29, найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное среднеквадратическое отклонение σ с заданной надежностью 0,95.

–ешение. ѕо таблице Ђ вантили распределени€ ї найдем значени€ хи-квадрат с k степен€ми свободы k = n Ц1=4. Ѕудем иметь “огда искомый доверительный интервал имеет вид:

, или 0,0017 < σ < 0,0084.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2655 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„тобы получилс€ студенческий борщ, его нужно варить также как и домашний, только без м€са и развести водой 1:10 © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

680 - | 684 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.023 с.