Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Множество действительных и комплексных чисел




 

В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.

Натуральные числа. Леопольд Кронекер когда-то произ­нес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: .

Целые числа – это числа вида n, – n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: .

Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: . Очевидно, что любое целое число является рациональным.

Действительные или вещественные числа (или континуум) получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,

.

Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?

Легко показать, что никакая дробь p / q не может быть корнем уравнения x 2 – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональнымичислами. Обозначение: J.

Комплексные числа. Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x 2 + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i 2 = –1. Число i = называется мнимой единицей.

Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами: .

Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z мнимой частью.

Комплексно сопряженными называются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z* = xiy.

Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.

Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.

Модуль числаz равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .

Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:

(х 1, у 1) + (х 2, у 2) = (х 1+ х 2, у 1 + у 2),

(х 1, у 1) × (х 2, у 2) = (х 1· x 2у 1· у 2, х 1· у 2+ х 2· у 1).

Частное комплексных чисел равно комплексному числу

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности: z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 · z 2 = z 2 · z 1;

ассоциативности: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3),

(z 1 · z 2) · z 3 = z 1 · (z 2 · z 3);

дистрибутивности: z 1 · (z 2 + z 3) = z 1· z 2 + z 1 · z 3.

Два комплексных числа z 1 = (х 1, у 1) и z 2 = (х 2, у 2) равны, если х 1 = х 2 и у 1 = у 2.

Существует три формы представления комплексного числа z =(x, y):

алгебраическая z = x + iy,

тригонометрическая z =│ z │(cosφ+ i sinφ),

показательная z =z │exp(i φ).

Здесь символ exp(i φ) обозначает комплексное число (cosφ+ i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений

Все аргументы различаются на целые кратные 2p и обозначаются единым символом Arg z.

Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.

Многочленом (полиномом)n -й степени называется выражение вида:

,

где

Два многочлена и равны, если

.

Многочлены можно складывать, перемножать, делить.

Существуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь – ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от деления на , а остатком.

Если , то делится на без остатка.

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий мно­гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

 

Пример 2. Решить уравнение z 3 = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.

Решение.

Здесь – мнимая единица.


1.4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Rn.
ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

 

С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из n действительных чисел и по аналогии назвать его n-мернымвектором. Числа называются координатами вектора . Количество координат вектора называется размерностью.

Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел R само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R 2. Множество R ´ R ´ R = R 3состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение R само на себя n раз, то получим совокупность всех n -мерных векторов – пространство Rn.

Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n -мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их:

; ;

;

Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.

На случай n -мерного пространства Rn:

пусть . Тогда

Скалярным произведением двух векторов называется число

.

Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора в Rn - пространстве:

 

Линейная независимость. Базис

Система векторов будет называться линейно зависимой, если найдется набор чисел l1, l2,…, l k, не все из которых равны нулю, такой, что выполняется равенство

.

В противном случае (т.е. ) система называется линейно независимой.

Два ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.

Любые три вектора на плоскости линейно зависимы.

Аналогично для трех- и четырехмерного пространства.

Вообще, любые n +1 векторов пространства Rn линейно зависимы. Так, легко проверить, что система векторов

линейно независима.

Пусть – произвольный вектор. Тогда, очевидно, справедливо равенство

Говорят, что вектор разложен по векторам Эта система векторов называется базисом пространства Rn.

Любые n линейно независимых векторов Rn образуют базис, причем любые m < n линейно независимых векторов базиса Rn не образуют. Таким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис Rn , равно n.

 

Вектор в косоугольном базисе трех векторов

Пусть задано 4 вектора в декартовой системе координат. Тогда вектор в базисе может быть представлен в виде: .

Если расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений

По правилу Крамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложения ; i = 1, 2, 3.






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-02-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 3762 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

80% успеха - это появиться в нужном месте в нужное время. © Вуди Аллен
==> читать все изречения...

2260 - | 2112 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.