Множество действительных и комплексных чисел

Действительные или вещественные числа (или континуум) получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,

.

Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?

Легко показать, что никакая дробь p / q не может быть корнем уравнения x ² – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональнымичислами. Обозначение: J.

Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами: .

Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z – мнимой частью.

Комплексно сопряженными называются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z^* = x – iy.

Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.

Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.

Модуль числаz равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .

Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:

(х ₁, у ₁) + (х ₂, у ₂) = (х ₁+ х ₂, у ₁ + у ₂),

(х ₁, у ₁) × (х ₂, у ₂) = (х ₁· x ₂– у ₁· у ₂, х ₁· у ₂+ х ₂· у ₁).

Частное комплексных чисел равно комплексному числу

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности: z ₁ + z ₂ = z ₂ + z ₁, z ₁ · z ₂ = z ₂ · z ₁;

ассоциативности: (z ₁ + z ₂) + z ₃ = z ₁ + (z ₂ + z ₃),

(z ₁ · z ₂) · z ₃ = z ₁ · (z ₂ · z ₃);

дистрибутивности: z ₁ · (z ₂ + z ₃) = z ₁· z ₂ + z ₁ · z ₃.

Два комплексных числа z ₁ = (х ₁, у ₁) и z ₂ = (х ₂, у ₂) равны, если х ₁ = х ₂ и у ₁ = у ₂.

Существует три формы представления комплексного числа z =(x, y):

алгебраическая z = x + iy,

тригонометрическая z =│ z │(cosφ+ i sinφ),

показательная z = │ z │exp(i φ).

Здесь символ exp(i φ) обозначает комплексное число (cosφ+ i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений

Все аргументы различаются на целые кратные 2p и обозначаются единым символом Arg z.

Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.

Многочленом (полиномом)n -й степени называется выражение вида:

,

где

Два многочлена и равны, если

.

Многочлены можно складывать, перемножать, делить.

Существуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь – ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от деления на , а – остатком.

Если , то делится на без остатка.

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий мно­гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

Пример 2. Решить уравнение z ³ = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.

Решение.

Здесь – мнимая единица.

1.4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Rⁿ.
ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ЗАДАННОМ БАЗИСЕ

С помощью системы координат удается отождествить вектор или (точку) на плоскости с упорядоченной парой действительных чисел, а в пространстве – с тройкой чисел. Современная физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четвертая координата – время. Отвлекаясь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упорядоченный набор из n действительных чисел и по аналогии назвать его n-мернымвектором. Числа называются координатами вектора . Количество координат вектора называется размерностью.

Можно исходить и из понятия множества. Декартово произведение множества действительных чисел R само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Это множество обозначают R ². Множество R ´ R ´ R = R ³состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение R само на себя n раз, то получим совокупность всех n -мерных векторов – пространство Rⁿ.

Чтобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. Операции над n -мерными векторами вводятся по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Напомним их:

; ;

;

Всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения элементов на число таким образом, что выполняются вышеперечисленные свойства, называется векторным пространством.

На случай n -мерного пространства Rⁿ:

пусть . Тогда

Скалярным произведением двух векторов называется число

.

Аналогично длине вектора в трехмерном пространстве определяется норма вектора в Rⁿ - пространстве: