Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћножество действительных и комплексных чисел




 

¬ основе математики лежит пон€тие множества. ѕрирода элементов абстрактного множества нас не интересует. ќт элементов требуетс€ только одно, чтобы они подчин€лись заданной системе аксиом. ÷енность формального определени€ состоит в том, что оно вы€вл€ет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Ќапример, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Ќапомним эти множества.

Ќатуральные числа. Ћеопольд  ронекер когда-то произ≠нес: ЂЌатуральное число создал господь Ѕог, все прочие Ц дело рук человеческихї. Ќатуральный р€д Ц это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. ќбозначение натурального р€да: .

÷елые числа Ц это числа вида n, Ц n и 0, где n Ц натуральное число. ¬се целые числа можно записать так: Е, Ц2, Ц1, 0, 1, 2, Е ќтсюда следует, что любое натуральное число €вл€етс€ также и целым. ќбозначение: .

–ациональные числа Ц это числа вида p/q, где p и q Ц целые числа, причем q ≠ 0. ќбозначение: . ќчевидно, что любое целое число €вл€етс€ рациональным.

ƒействительные или вещественные числа (или континуум) получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Ёто наши обычные числа. ќбозначение: . –ациональное число всегда действительное. “аким образом,

.

»ррациональные числа. Ћюба€ обыкновенна€ дробь может быть записана в виде бесконечной периодической дес€тичной дроби. » наоборот, люба€ бесконечна€ периодическа€ дес€тична€ дробь представл€ет собой дес€тичную запись некоторой обыкновенной дроби. ј какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби?

Ћегко показать, что никака€ дробь p / q не может быть корнем уравнени€ x 2 Ц 2 = 0. “аким образом не €вл€етс€ рациональным числом, то есть бесконечной периодической дес€тичной дробью. ƒействительные, но не рациональные числа называютс€ иррациональнымичислами. ќбозначение: J.

 омплексные числа. Ќе каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x 2 + 1. ƒобавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен Ц1: i 2 = Ц1. „исло i = называетс€ мнимой единицей.

ѕолученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называетс€ комплексными числами: .

 омплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y Ц вещественные числа, i Ц мнима€ единица.

x = Re z называетс€ вещественной частью комплексного числа z, y = Im z Ц мнимой частью.

 омплексно сопр€женными называютс€ числа, отличающиес€ только знаком своей мнимой части z* = x Ц iy.

ƒействительные числа Ц частный случай комплексных при y = 0. Ќе действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называютс€ мнимыми.

Ћюбой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

 омплексные числа нагл€дно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной Ц мнимые числа Im z.

ћодуль числаz равен рассто€нию точки, изображающей это число от начала координат .

ƒл€ комплексных чисел следующим образом определены операции сложени€ и умножени€:

(х 1, у 1) + (х 2, у 2) = (х 1+ х 2, у 1 + у 2),

(х 1, у 1) × (х 2, у 2) = (х 1Ј x 2Ц у 1Ј у 2, х 1Ј у 2+ х 2Ј у 1).

„астное комплексных чисел равно комплексному числу

.

ќперации сложени€ и умножени€ комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности: z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 Ј z 2 = z 2 Ј z 1;

ассоциативности: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3),

(z 1 Ј z 2) Ј z 3 = z 1 Ј (z 2 Ј z 3);

дистрибутивности: z 1 Ј (z 2 + z 3) = z 1Ј z 2 + z 1 Ј z 3.

ƒва комплексных числа z 1 = (х 1, у 1) и z 2 = (х 2, у 2) равны, если х 1 = х 2 и у 1 = у 2.

—уществует три формы представлени€ комплексного числа z =(x, y):

алгебраическа€ z = x + iy,

тригонометрическа€ z =│ z │(cosφ+ i sinφ),

показательна€ z =z │exp(i φ).

«десь символ exp(i φ) обозначает комплексное число (cosφ+ i sinφ), φ называетс€ аргументом (аrg z) комплексного числа и €вл€етс€ решением системы уравнений

¬се аргументы различаютс€ на целые кратные 2p и обозначаютс€ единым символом Arg z.

 омплексные числа часто встречаютс€ в качестве корней полиномов.

ћногочленом (полиномом)n -й степени называетс€ выражение вида:

,

где

ƒва многочлена и равны, если

.

ћногочлены можно складывать, перемножать, делить.

—уществуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь Ц ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от делени€ на , а Ц остатком.

≈сли , то делитс€ на без остатка.

„исло называетс€ корнем многочлена , если .

“еорема Ѕезу. ќстаток от делени€ многочлена на равн€етс€ значению этого многочлена в точке .

ќсновна€ теорема алгебры (теорема √аусса). ¬с€кий мно≠гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

 

ѕример 2. –ешить уравнение z 3 = 1. Ќайти модули корней. ќтобразить на декартовой плоскости решение уравнени€.

–ешение.

«десь Ц мнима€ единица.


1.4 Ћ»Ќ≈…Ќџ≈ ѕ–ќ—“–јЌ—“¬ј Rn.
¬≈ “ќ–џ » ќѕ≈–ј÷»» Ќјƒ Ќ»ћ».
 ќќ–ƒ»Ќј“џ ¬≈ “ќ–ј ¬ «јƒјЌЌќћ Ѕј«»—≈

 

— помощью системы координат удаетс€ отождествить вектор или (точку) на плоскости с упор€доченной парой действительных чисел, а в пространстве Ц с тройкой чисел. —овременна€ физика имеет дело с четырехмерным пространством, где четверта€ координата Ц врем€. ќтвлека€сь от реальных геометрических представлений, можно рассмотреть упор€доченный набор из n действительных чисел и по аналогии назвать его n-мернымвектором. „исла называютс€ координатами вектора .  оличество координат вектора называетс€ размерностью.

ћожно исходить и из пон€ти€ множества. ƒекартово произведение множества действительных чисел R само на себ€ состоит из всевозможных упор€доченных числовых пар и его можно отождествить с плоскостью. Ёто множество обозначают R 2. ћножество R ´ R ´ R = R 3состоит из упор€доченных троек и представл€ет собой трехмерное пространство. ≈сли осуществить декартово произведение R само на себ€ n раз, то получим совокупность всех n -мерных векторов Ц пространство Rn.

„тобы работать с математическими объектами, необходимо определить операции над ними. ќперации над n -мерными векторами ввод€тс€ по аналогии с обычными и обладают теми же алгебраическими свойствами. Ќапомним их:

; ;

;

¬с€кое множество, дл€ элементов которого определены операции сложени€ и умножени€ элементов на число таким образом, что выполн€ютс€ вышеперечисленные свойства, называетс€ векторным пространством.

Ќа случай n -мерного пространства Rn:

пусть . “огда

—кал€рным произведением двух векторов называетс€ число

.

јналогично длине вектора в трехмерном пространстве определ€етс€ норма вектора в Rn - пространстве:

 

Ћинейна€ независимость. Ѕазис

—истема векторов будет называтьс€ линейно зависимой, если найдетс€ набор чисел l1, l2,Е, l k, не все из которых равны нулю, такой, что выполн€етс€ равенство

.

¬ противном случае (т.е. ) система называетс€ линейно независимой.

ƒва ненулевых вектора на плоскости линейно независимы тогда и только, когда они неколлинеарны.

Ћюбые три вектора на плоскости линейно зависимы.

јналогично дл€ трех- и четырехмерного пространства.

¬ообще, любые n +1 векторов пространства Rn линейно зависимы. “ак, легко проверить, что система векторов

линейно независима.

ѕусть Ц произвольный вектор. “огда, очевидно, справедливо равенство

√овор€т, что вектор разложен по векторам Ёта система векторов называетс€ базисом пространства Rn.

Ћюбые n линейно независимых векторов Rn образуют базис, причем любые m < n линейно независимых векторов базиса Rn не образуют. “аким образом, минимальное количество векторов, которые могут составить базис Rn , равно n.

 

¬ектор в косоугольном базисе трех векторов

ѕусть задано 4 вектора в декартовой системе координат. “огда вектор в базисе может быть представлен в виде: .

≈сли расписать это векторное равенство, то получим систему линейных алгебраических уравнений

ѕо правилу  рамера (см. параграф ниже) можно найти коэффициенты разложени€ ; i = 1, 2, 3.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 3623 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

829 - | 613 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.04 с.