Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќперации над множествами. ћощность множества




 раеугольным камнем современной математики €вл€етс€ теори€ множеств.≈е основател€ми в 19 веке €вились Ѕольцана,  антор, ƒедекинд. Ѕурбаки утверждали, что возможно вывести всю математику из единого источника Ц теории множеств.

ƒл€ теоретиков множественна€ аксиоматика €вл€етс€ фундаментом современной теории веро€тностей и других разделов.

ѕон€тие множества вводитс€ аксиоматически. ћножество определ€ет совокупность объектов произвольной природы.

ћножество Ц любое собрание, коллекци€ любых объектов. ќбозначение: прописные латинские буквы A, B, C Е

Ёлемент множества Ц любой объект множества: а Î A. ќбозначение не принадлежности: i Ï A.

ƒва множества равны в том и только в том случае, когда они состо€т из одних и тех же элементов.

ѕри записи математических рассуждений используют экономную символику, примен€емую в логике.

Cлово Ђлюбыеї замен€етс€ символом " Ц квантором всеобщности, а слово Ђсуществуетї Ц символом $ Ц квантором существовани€.

«апись " x Î X a(x)означает, что дл€ вс€кого элемента x Î X истинно утверждение a(x).

«апись $ x Î X a(x)означает, что существует элемент x Î X такой, что дл€ него истинно утверждение a(x).

≈сли элемент x Î X, дл€ которого истинно утверждение a(x), не только существует, но и единственен, то пишут

$! x Î X a(x).

ћножество конечно, если оно содержит натуральное или нулевое число элементов, и бесконечно, если оно не €вл€етс€ конечным.

ћножество X называетс€ ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х £ а дл€ всех x Î X. ¬с€кое число, обладающее этим свойством, называетс€ верхней гранью множества X.

ƒл€ заданного ограниченного сверху множества X множество всех его верхних граней имеет наименьший элемент, который называетс€ точной верхней гранью множества X и обозначаетс€ символом sup X.

“очна€ нижн€€ грань множества X обозначаетс€ символом inf X.

ћножество X, ограниченное сверху и снизу, называетс€ ограниченным.

  примеру, множество [0, 1) имеет множество верхних граней [1, +¥), наименьший элемент которого равен 1. ѕоэтому sup[0, 1)=1, причем 1Ï[0, 1); inf[0, 1)=0.

ћножество A называетс€ подмножеством множества B, или множество A принадлежит множеству B, если " элемент A принадлежит также и B. ќбозначение: A Ì B.

ћножество A не принадлежит множеству B, если $ x: x Î A и x Ï B. ќбозначение: A Ë B.

ѕустым множеством,илинуль-множеством, называетс€ множество Æ = {" x: x Ë Æ}

—уществует только одно пустое множество.

ѕодмножества A и Æ множества A называютс€ тривиальными.

Ѕулеаном множества A называетс€ множество всех подмножеств множества A. ќбозначаетс€ готической буквой
M (A).

ћножество задают либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. ¬ последнем случае используетс€ обозначение A= { x Î T:a(x)} или A= { x Î T ça(x)}. “о есть множество A Ц это совокупность тех, и только тех, элементов из некоторого основного множества T, которые обладают свойством a.

ƒвухэлементное множество{ x, у }, в котором элемент х находитс€ на первом, а элемент у на втором месте, называетс€ упор€доченной парой (x, у).

Ёлемент х называетс€ первой координатой упор€доченной пары (x, у), а у Ц второй координатой.

ƒве упор€доченные пары равны, если совпадают их координаты.

ѕусть заданы два множества и Y. ћножество всевозможных упор€доченных пар { x, у } таких, что x Î и у Î Y называетс€ декартовым произведением и обозначаетс€ ´ Y. Ќапример, декартовым произведением €вл€етс€ плоскость с двум€ координатными ос€ми, так как определ€ет множество пар вещественных чисел.

ѕример 1. ќписать перечислением элементов множество

–ешение. A есть множество всех целых неотрицательных корней уравнени€ . —ледовательно,





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1857 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

2066 - | 1939 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.