Самая важная роль в развитии западной математики принадлежит античной греческой цивилизации. Находясь в постоянном контакте с народами Востока, Вавилоном и Египтом, греки не довольствовались усвоением их знаний и создали абстрактную и дедуктивную математику. В VI в. до н.э. в период расцвета греческих торговых полисов Малой Азии сложилась форма абстрактного мышления, ставшая основой всей западной науки. Впервые они поставили не только восточный вопрос «как?», но и вопрос «почему?».
Согласно преданию отцом греческой математики является купец Фалес из Милета, который в первой половине VI в. основал братство религиозного, философского и научного характера. Основу всего он видел в числе, о чем свидетельствует его девиз: «Всё есть число».
Пифагорейская школа (570-471 гг. до н.э.)открыла уже иррациональные числа и сокрушила точку зрения о представимости мира целыми числами, вызвав первый кризис в истории математики.
Элеаты не приняли доктрину «всё есть число». Если дискретные объекты можно представить целыми числами, то иначе обстоит дело в случае непрерывных величин – длин, площадей, объемов. Зенон Элейский около 450 г. до н.э. сформулировал несколько парадоксов, или апорий (тупиков). Это было первое столкновение двух концепций: континуалистской, трактовавшей число и материю как бесконечно делимые, и атомистской, провозглашающей существование первичных неделимых элементов.
Около 377 г. до н. э. Платон основал философскую школу – Академию, в течение века руководившей всей интеллектуальной жизнью Афин. Не будучи математиком, Платон уделял математике важное место в своей воспитательной системе. Согласно легенде, при входе в свою школу он написал: «Пусть никто не знающий геометрии не входит сюда». Платон ставил вопрос о природе и структуре математики. Его ученики первыми осознали абстрактный характер математических объектов.
Аристотель (384-322 гг. до н. э.) – самый известный ученик Платона, воспитатель Александра Македонского. «Знать – это установить при помощи доказательства», – писал Аристотель. Обладать знанием – означает не созерцать, как у Платона, а провести рассуждение, подчиняющееся некоторым правилам. Аристотель стал основоположником логики. Классифицировав знания, Аристотель заложил разделение науки на отдельные дисциплины.
В III в. до н. э. появились профессиональные ученые. В Александрии непосредственный преемник Александра – Птолемей – построил большой научный центр – Музей со знаменитой библиотекой, насчитывающей 700 000 томов. Евклид, влиятельнейший математик всех времен, преподавал там геометрию. На просьбу Птолемея быстро обучить его математике он заявил, что к геометрии «нет царского пути». Его наиболее знаменитое произведение – 13 книг «Начал». В истории Запада «Начала», после Библии, наибольшее число раз изданная и более всего изучаемая книга. Большая часть школьной геометрии заимствована буквально из первых 6 книг «Начал».
Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287-212 до н.э.), Наиболее важный вклад в математику он внес теоремами о площадях плоских фигур и об объемах тел.
Арабская цивилизация. Меньше чем через сто лет после смерти Магомета (632) объединенные им древние кочевые племена Аравии под началом его последователей – халифов – завоевали обширные территории от Испании до Индии, где с VII по XIII вв. развивалась арабская цивилизация. В течение восьми веков арабы играли роль хранителей мудрости и просветителей. Арабская математика достигла своего апогея в работах Самаркандской школы. Но после смерти Улугбека в 1449 г. школа распалась.
Первым знаменитым ученым багдадской школы был уроженец Хивы Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми. В латинских переводах этот автор именовался как Algorithmus, откуда в современном математическом языке появился термин «алгоритм». Алгебра, арабский текст которой сохранился, была озаглавлена «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». От латинского перевода слова «ал-джабр» – «алгебра» и произошел современный термин.
Наиболее известным достижением индийской математики является современная десятичная позиционная система счисления.
Крупнейший математик христианского средневековья – Леонардо Пизанский (ок. 1170 – после 1250), которого прозвали Фибоначчи. После путешествия по Востоку в качестве купца написал математическую «Книгу абака» (Liber abaci, 1202), возникшую под влиянием «Начал» Евклида, трудов ал-Хорезми и др.
