Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [, ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и.
Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x 0 -,x 0 +), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.
f(x) < f(x 0 )(или f(x)>f(x 0 ))
Иными словами, точка x 0 доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x 0 ) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x 0 .
Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x 0 ) выполняется строгое неравенство
f(x)<f(x 0 )(или f(x)>f(x 0 )
то говорят, что функция имеет в точке x 0 собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.
Если функция имеет максимумы в точках x 0 и x 1 , то, применяя к промежутку [x 0 ,x 1 ] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x 2 между x 0 и x 1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.
Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.
Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х 0 . Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.
Из рисунка 1 видно, что в точках х 1 и х 3 локальные максимумы, а в точках х 2 и х 4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.
Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.
Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х 0функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х 0 -,х 0 +), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f (x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.
Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным.
