Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

1) Пусть и — бесконечно малые при .
1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут .
2. Если , где —число, отличное от нуля, то говорят, что и — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и —эквивалентные бесконечно малые.
Если , то это означает, что . Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е.
3. Если и —бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .
Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин:
1^o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , то и .
2^o. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , .
3^o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если
, ~ , ~ , то .

2) Б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при , если

Обозначают: при .

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .