Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация

1) Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

2) Геометрическая интерпретация

Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции .

Рис. 1. Секущая AB образует угол β с положительным направлением оси 0 x. Касательная к графику функции проведена в точке A.

Угловой коэффициент секущей AB равен средней скорости изменения функции на промежутке [ x, x + ∆ x ]:

(5)

Предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A по дуге кривой является касательная к графику в точке A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при ∆ x → 0:

(6)

Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A.

Таким образом, производная в точке x равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в этой точке с положительным направлением оси 0 x.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t) времени t. В течение интервала времени от t ₀ до t ₀ + точка перемещается на расстояние: x (t ₀ + ) - x (t ₀) = , а её средняя скорость равна: v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v (t ₀) материальной точки в момент времени t ₀. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t ₀) = x’ (t ₀), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).