Теорема. Пусть функция 
дифференцируема в открытом промежутке 
, на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения: 
. Тогда существует точка 
, в которой производная функции равна нулю: 
.
Рис. 3. Теорема Ролляустанавливает условия существования хотя бы одной точки c, в которой касательная к графику функции параллельна оси 0 x. Таких точек может быть несколько.
Доказательство. Если 
в промежутке 
, то 
во всех точках этого промежутка. Иначе наибольшее значение M функции превышает ее наименьшее значение m в промежутке . Поскольку на концах этого промежутка функция принимает одинаковые значения, то по крайней мере одно из значений, M или m, достигается во внутренней точке c промежутка . Тогда по теореме Ферма 
.
