1) ТЕОРЕМА: (о предельном переходе в неравенстве.).
Пусть при всех n выполняется неравенство 
,и переменные 
и имеют пределы:
;
Тогда: 
, т. е. 
.
Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.
Доказательство:
Предположим, что 
Выделим вокруг точек 
и 
столь малые E – окрестности, чтобы они не пересекались.
По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные 
и 
попадут в свои E – окрестности предельных точек.
Это означает, что 
, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.
Замечание :
Если при всех n выполняется 
(строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.
2) ТЕОРЕМА: (о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого 
, выполняются неравенства 
, причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел 
, тогда переменная 
также имеет предел, причем тот же самый.
