Теорема. Пусть функция 
дифференцируема в открытом промежутке 
и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка 
, что
| (13) |
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке 
, а на его концах принимает одинаковые значения:
Тогда 
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:
Следствие 1. В частном случае, когда 
, из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: 
. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 2. Если 
во всех точках некоторого промежутка , то 
в этом промежутке.
Действительно, пусть 
и 
– произвольные точки промежутка и 
. Применяя теорему Лагранжа к промежутку 
, получим
Однако во всех точках промежутка . Тогда
Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.
