Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

(13)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка , в которой производная функции равна нулю:

Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка , в которой производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка , то в этом промежутке.
Действительно, пусть и – произвольные точки промежутка и . Применяя теорему Лагранжа к промежутку , получим

Однако во всех точках промежутка . Тогда

Учитывая произвольность точек и , получаем требуемое утверждение.