Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ћекци€ є2. √армонический анализ периодических сигналов




√армонический анализ периодических сигналов. —войства преобразовани€ ‘урье

2.1 √армонический анализ непериодических сигналов.

√армонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. ѕусть такой сигнал задан в виде некоторой функции, отличной от нул€ в промежутке .

(рис. 2.1)

¬ыделив произвольный отрезок времени , включающий в себ€ промежуток , мы можем представить заданный сигнал в виде р€да ‘урье

(2.1)

где , а коэффициенты в соответствии с формулой (1.14)

(2.2)

ѕодставив (2.2) в (2.1), получим

(2.3)

здесь учтено, что

¬не отрезка р€д (2.1) определ€ет функцию 0, где - целое число, т.е. периодическую функцию, полученную повторением вправо и влево с периодом . ƒл€ того чтобы вне отрезка функци€ равн€лась нулю, величина должна быть бесконечно большой. Ќо чем больше отрезок , выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты . ”стремл€€ к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составл€ющий, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию , заданную в интервале (рис.2.1). „исло гармонических составл€ющих, вход€щих в р€д ‘урье, будет при этом бесконечно большим, т.к. при основна€ частота функции . »ными словами, рассто€ние между спектральными лини€ми, равно основной частоте становитс€ бесконечно малым, а спектр Ц сплошным.

ѕоэтому в выражении (2.3) можно заменить на , на текущую частоту , а операции суммировани€ операцией интегрировани€.

“аким образом, приходим к двойному интегралу ‘урье

(2.4)

¬нутренний интеграл, €вл€ющейс€ функцией ,

(2.5)

называетс€ спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции .

¬ случае, когда пределы и не уточнены, спектральна€ плотность записываетс€ в форме

(2.6)

ѕосле подстановки (2.6) в (2.4) получаем

(2.7)

¬ыражени€ (2.6) (2.7) называютс€ пр€мым и обратным преобразованием ‘урье.

¬ыражение (2.6) отличаетс€ от (1.14) отсутствием множител€ . —ледовательно, спектральна€ плотность обладает всеми основными свойствами коэффициентов комплексного р€да ‘урье.

ѕо аналогии с (1.15) можно написать

(2.8)

где

(2.9)

ћодуль и аргумент спектральной плотности определ€етс€ выражени€ми

(2.10)

(2.11)

ѕервое из этих выражений можно рассматривать как ј„’, а втрое как ‘„  сплошного спектра непериодического сигнала .

Ќа основании (2.8) нетрудно привести интегральные преобразование (2.7) к тригонометрической форме. »меем, аргумент функции в последующих выражени€х опущен:

»з четности модул€ и нечетности фазы следует, что подинтегральна€ функци€ в первом интеграле €вл€етс€ четной, а во втором- нечетной относительно . —ледовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно:

(2.12)

ќтметим, что при выражение (2.5) переходит в следующее:

площадь под кривой .

(2.12)

—ледовательно дл€ любого сигнала спектральна€ плотность на первой частоте равна Уплощади сигналаФ. Ёто правило полезно дл€ быстрого вы€влени€ структуры спектра некоторых сигналов.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1222 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

1247 - | 1220 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.