Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний

Для теории сигналов и их обработки важное значение разложение заданной функции по различным ортогональным системам функций .

Бесконечная система действительных функций:

(1.3)

называется ортогональной на отрезке ,

если: ,при

(1.4)

При этом предполагается, что:

(1.5)

т.е. что никакая из функций рассматриваемой системы (1.3) не равна тождественно нулю.

Условие (1.4) выражает попарную ортогональность функций системы (1.3). Величина

(1.6)

называется нормой функции .

Функция , для которой выполняется условие:

,

(1.7)

называется нормированной функцией, а система нормированных функций , в которой каждые две различные функции взаимно ортогональны, называется ортонормированной системой.

Если функции непрерывны, тогда произвольная кусочно-непрерывная функция , для которой выполняется условие:

, может быть представлена в виде суммы ряда:

(1.8)

Умножим обе части выражения (1.8) на и проинтегрируем в пределах :

Все слагаемые вида при обращаются в нуль в силу ортогональности функций и . В правой части остается одно слагаемое:

, что позволяет написать

Откуда следует важное выражение:

(1.9)

Ряд (1.8), в котором координаты определяются по формуле (1.9), называется обобщенным рядом Фурье. По данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала. в ортогональной системе и полностью определяет етот сигнал.

Для системы функций принимающих комплексные значения, приведенные выше определения обобщаются следующим образом:

- условие ортогональности: , при ;

- квадрат нормы функции: ;

- коэффициенты Фурье: .

В этих выражениях обозначает функцию, комплексно-сопряженную функции .

Применительно к сигналам , являющимся функциями времени выражение (1.8) будет записываться в форме:

Квадрат нормы функции :

Таким образом, энергия сигнала:

а при использовании ортонормированной системы функции :

Очевидно, что средняя за время мощность сигнала:

Наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций-синусов и косинусов, Во-первых, гармонические функций (гармонические колебания) являются единственной функцией времени сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цеп. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.