Циклические группы

Определение. Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента , называется циклической группой.

Говорят, что элемент порождает эту группу. Очевидно, что элемент также можно считать порождающим элементом.

Определение. Группа называется бесконечной (свободной) циклической, если элементы все попарно различны.

Определение. Группы и называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором для любых двух элементов и из и соответствующих им элементов и из произведению соответствует произведение .

Примером свободной циклической группы является группа целых чисел относительно сложения. Любая свободная циклическая группа ей изоморфна, изоморфизм задается соответствием , так как при умножении степеней элемента показатели степени складываются.

Однако среди элементов циклической группы могут встречаться одинаковые. Если , то , так что в этом случае некоторая степень с натуральным показателем порождающего элемента равна 1.

Определение. Порядком элемента называется наименьший показатель степени такой, что .

Если порядок равен числу , то среди элементов нет равных. Предположим, что , . Тогда , причем , т. е. порядок элемента равен и он меньше . Всякий элемент равен одному из элементов , а именно , где - остаток от деления на . Таким образом, порядок группы, порожденной элементом порядка , также равен .

Пусть - данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если - конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы делится на порядок любой ее подгруппы, в частности, и на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку порождающего элемента. Поэтому верна теорема, которая является следствием из теоремы Лагранжа.

Теорема. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Пусть - конечная группа порядка и - некоторый ее элемент порядка . Тогда , и . Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение. Любой элемент конечной группы при возведении в степень, равную порядку группы, дает единицу.