Определение. Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента 
, называется циклической группой.
Говорят, что элемент порождает эту группу. Очевидно, что элемент 
также можно считать порождающим элементом.
Определение. Группа называется бесконечной (свободной) циклической, если элементы 
все попарно различны.
Определение. Группы 
и 
называются изоморфными, если между ними можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором для любых двух элементов и 
из и соответствующих им элементов 
и 
из произведению 
соответствует произведение 
.
Примером свободной циклической группы является группа целых чисел относительно сложения. Любая свободная циклическая группа ей изоморфна, изоморфизм задается соответствием 
, так как при умножении степеней элемента показатели степени складываются.
Однако среди элементов циклической группы могут встречаться одинаковые. Если 
, то 
, так что в этом случае некоторая степень с натуральным показателем порождающего элемента равна 1.
Определение. Порядком 
элемента называется наименьший показатель степени такой, что 
.
Если порядок равен числу 
, то среди элементов 
нет равных. Предположим, что 
, 
. Тогда , причем 
, т. е. порядок элемента равен и он меньше . Всякий элемент 
равен одному из элементов , а именно 
, где 
- остаток от деления 
на . Таким образом, порядок группы, порожденной элементом порядка , также равен .
Пусть - данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если - конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы делится на порядок любой ее подгруппы, в частности, и на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку порождающего элемента. Поэтому верна теорема, которая является следствием из теоремы Лагранжа.
Теорема. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
Пусть - конечная группа порядка и - некоторый ее элемент порядка . Тогда 
, 
и 
. Отсюда вытекает следующее предложение.
Предложение. Любой элемент конечной группы при возведении в степень, равную порядку группы, дает единицу.
