Теорема 1. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент е такой, что 
при любом 
, и для любого элемента существует левый обратный элемент 
, т. е. такой, что 
, то полугруппа является группой.
Доказательство. Докажем, что левый нейтральный элемент является и правым нейтральным, т. е. 
при любом . Пусть , 
- левые обратные элементы для и соответственно. Тогда 
и 
. Таким образом, при любом . Теперь докажем, что левый обратный элемент элемента является и правым обратным, т. е. 
. С одной стороны, 
, но 
, т.е. . Следовательно, является правым обратным элементом. Теорема доказана.
В дальнейшем в мультипликативной записи вместо будем использовать 
.
Теорема 2. Если в полугруппе имеется левый нейтральный элемент и правый нейтральный элемент, то они совпадают.
Доказательство. Пусть 
и 
левый и правый нейтральные элементы. Тогда 
( - левый нейтральный элемент) и 
( - правый нейтральный элемент), т. е. 
. Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что полугруппа содержит только один левый нейтральный элемент, т.к. любой левый нейтральный элемент равен выбранному правому нейтральному элементу . Аналогично утверждение, что подгруппа содержит единственный правый нейтральный элемент. Поэтому в группе существует только один нейтральный элемент. При использовании мультипликативной записи нейтральный элемент группы называется единицей и обозначается 1.
Теорема 3. В группе уравнений 
при заданных и 
имеет единственное решение 
. Уравнение 
имеет единственное решение 
.
Доказательство. Положим . Тогда 
. Мы показали, что решение уравнения существует. Докажем единственность. Пусть 
- произвольное решение уравнения . Тогда 
и 
, 
, 
, Таким образом, произвольное решение совпадает с найденным ранее, т.е. единственность доказана. Уравнение рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно следует единственность обратного элемента для любого элемента группы.
Определение. Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов группы (полугруппы) называется ее порядком.
Невырожденные квадратные матрицы с вещественными элементами образуют группу относительно умножения. Эта группа не является абелевой и является бесконечной. Множество всех подстановок п элементов образует неабелеву группу относительно умножения порядка 
. Эта группа называется симметрической группой.
Пусть 
- группа, а 
и 
- два подмножества ее элементов.
Определение. Произведением 
подмножеств и группы называется множество произведений 
, где 
, 
.
Произведение подмножеств группы ассоциативно, т. е. 
, так как оба эти произведения составлены из элементов группы. Если одно подмножество состоит из одного элемента, например, 
, то произведение обозначают 
, т. е. не отличают элемент от составленного из него одноэлементного множества.
Через 
обозначим множество всех элементов, обратных к элементам множества . Следует обратить внимание, Что множество не является обратным к множеству в смысле умножения подмножеств группы.
