Подгруппы

Определение. Подмножество элементов группы называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в .

Из этого определения следует, что если , то и . Очевидно, что единица является единицей . Действительно, если , то и . Таким образом, единица группы принадлежит любой ее подгруппе. В силу единственности обратного элемента в группе следует, что обратный элемент для любого элемента подгруппы будет для него обратным и во всей группе.

Теорема. Если подмножество элементов группы содержит вместе с двумя элементами их произведение и вместе с каждым элементом его обратный элемент , то есть подгруппа .

Доказательство. Для того чтобы множество было подгруппой, достаточно показать, что оно обладает единицей. Но в группе при . Подмножество вместе с каждым элементом содержит его обратный элемент и их произведение. Следовательно, оно содержит и единицу. Теорема доказана.