Решая уравнение вида 
, приходим к вопросу о существовании мультипликативного обратного 
числа 
по модулю 
. Другими словами, необходимо выяснить, существует ли число 
, удовлетворяющее условиям 
. Для такого числа естественно обозначение 
.
Обратный к элемент существует только тогда, когда НОД 
. Особый интерес представляет случай простого модуля 
, поскольку при этом для любого ненулевого элемента 
найдется единственное решение уравнения 
. Таким образом, если 
- простое число, то любой ненулевой элемент в 
является обратимым, т. е. обладает обратным элементом.
Определение. Полем называется множество 
с двумя операциями, обладающее дополнительными свойствами:
1. 
- абелева группа с единичным элементом 0
2. 
- абелева группа с единичным элементом 1.
3. удовлетворяет закону дистрибутивности.
Другими словами, поле – это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Обозначим множество обратимых элементов в 
как 
, т. е. 
. Для общего кольца 
обозначение 
закреплено для наибольшего его подмножества элементов, которые образуют группу по умножению.
В специальном случае, когда - простое число, получаем 
, поскольку каждый ненулевой элемент кольца взаимно прост с и поэтому обратим. Другими словами, является конечным полем, которое обычно называется полем вычетов по модулю и обозначается символом 
. Из определения следует, что мультипликативная группа 
поля 
совпадает с множеством 
. В частном случае поля вычетов получаем 
и 
.
Замечание. Целые числа по модулю образуют поле тогда и только тогда, когда - простое число.
