Задача проверки гипотезы заключается в определении критической области 
максимальной мощности при заданной вероятности ошибки первого рода 
. Очевидно, при этом мы будем иметь минимальную вероятность ошибки второго рода 
.
При проверке простой гипотезы 
против простой альтернативы 
эта задача сводится к выбору критической области , максимизирующей выражение (3.4.), которое в интегральной записи имеет вид
, (3.4)
где 
- функция правдоподобия при гипотезе 
(i =0, 1).
При решении задачи требуется, чтобы область удовлетворяла условию
(3.5)
Очевидно, выражение (3.5) можно записать так:
Таким образом, надо выбрать так, чтобы максимизировать математическое, ожидание отношения 
, вычисленное в предположении, что справедлива гипотеза . Очевидно, это будет выполнено тогда, когда , удовлетворяя условию (3.5), содержит точки, для которых отношение принимает наибольшее значение. Следовательно, критическая область состоит из тех точек пространства 
, для которых
. (3.6)
Пример.
Пусть проверяется гипотеза : 
против альтернативы : 
, где 
- среднее значение нормального распределения 
.
Для данного случая
, i =0, 1,
где 
, 
- выборочное среднее и дисперсия.
Следовательно соотношение (3.6) можно представить в виде
Отсюда
Таким образом, при задании 
, 
и наилучшая критическая область определяется только значением выборочного среднего . Причем если 
, то наилучшая критическая область имеет вид
,
если 
