Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


—татическим методом ¬.«. ¬ласова




ѕри ипользовании дл€ расчета пластин метол Ѕубнова Ц √алеркина прогиб пластины задаетс€ в виде [4]

, (4)

где Bi - неизвестные коэффициенты, xi(ξ)- характер прогиба пластины в направлении оси ξ, который должен удовлетвор€ть заданным граничным услови€м на сторонах пластины ξ=0, ξ=1, а yi(h) характер прогиба пластины в направлении оси h, который должен удовлетвор€ть заданным граничным на сторонах пластины h=0, h=1.

¬ методе Ѕубнова - √алеркина функции xi(ξ) и yi(h), которые в дальнейшем называем аппроксимирующими (приближающими), должны удовлетвор€ть всем граничным услови€м.

≈сли вз€ть достаточное число членов р€да n в (4), то можно получить достаточно точное решение задачи методом Ѕубнова Ц √алеркина. ќднако при большом числе членов р€да прогиба w (4) значительно возрастает трудоемкость решени€ задачи методом Ѕубнова Ц √алеркина. ¬ св€зи с этим желательно использовать такие способы построени€ функций x(ξ) и y(h), при которых они достаточно отражают характер прогиба пластины по направлени€м осей ξ и h и задачу можно решать в первом приближении, когда [4]

(5)

“аким способом построени€ функций x(ξ) и y(h) €вл€етс€ спо≠соб, предложенный выдающимс€ советским ученым членом-корреспондентом јЌ ———– профессором ¬.«.¬ласовым. —уть способа состоит в построении аппроксимирующих функций, удовлетвор€ющих всем граничным услови€м, а также и характеру внешней нагрузки.

ѕроиллюстрируем данный способ на конкретном примере, ѕредположим, что надо построить статическим методов я.«.¬ласова аппроксимирующие функции х(ξ), у(h) дл€ пластины, изображенной на рис. 3 и имеющей значение параметров μ=0.3 и γ=2.

–ис.3

Ќа рис. 3 и в дальнейшем замен€ем пластину ее срединной плоскостью [1+4], штриховкой обозначаем защемленный край пластины, на котором в ноль обращаютс€ прогиб w(ξ,h) и угол поворота сечени€ ξ(ξ,h) ( или h(ξ,h)). ѕунктиром обозначаем шарнирно-опертый край, на котором в ноль обращаетс€ прогиб w(ξ,h) иизгибающий момент ћξ(ξ,h) ( или ћh(ξ,h)). ≈сли край свободен от опорных закреплений, то их обозначени€ отсутствуют и на краю обращаетс€ в ноль изгибающий момент ћξ(ξ,h) ( или ћh(ξ,h)) ипри≠веденна€ поперечна€ сила Qξ(ξ,h) ( или Qh(ξ,h)).

—троим статическим методом [1] аппроксимирующую функцию х(ξ).

√раничные услови€ по оси ξ в пластине следующие: при ξ=1- шарнирный край, т.е. w(0,h)=0 и ћТξ(1,h)=0, при ξ=1 Ц защемление, т.е. w(1,h)=0 и ξ(1,h)=0. ѕодставл€€ выражение (5) дл€ w(ξ,h) в формулы дл€ w, ћξ, wТξ, получим

(6)

ѕреобразу€ (6), получаем систему следующих четырех граничных условий

, , , . (7)

ќтметим, что приведение услови€ ћξ(0,h)=0 к условию возможно из-за выполнени€ услови€ - шарнирный край.

–ассмотрим вырезанную из пластины элементарную полоску шириной dh как обыкновенную балку и определим дл€ этой балки в соответствии с граничными услови€ми линию прогибов от заданной нагрузки [1]. Ѕалка изображена на рис.4, а нагрузка €вл€етс€ равномерной, т.к. , т.е. , - см. рис.3.

 

–ис.4

«аписываем в безразмерном виде дифференциальное уравнение изгиба балки

, (8)

где - характер изменени€ нагрузки по оси ξ.

ѕоследовательно интегрируем (8) четыре раза:

(9)

(10)

(11)

. (12)

ѕроизвольные посто€нные интегрировани€ 1, —2, —3, —4 определ€ем из заданных граничных условий (7). »з услови€ получаем 4=0, а из услови€ - C2=0.

ƒл€ нахождени€ 1 и 2 используем оставшиес€ услови€ , , привод€щие к системе алгебраических уравнений:

(13)

–еша€ (13), находим величины 1 и 2

1= -3/8, —3=1/48. (14)

ѕодставл€€ полученные значени€ 1, —2, —3, —4 в х(ξ) (13), получаем:

. (15)

јппроксимирующа€ функци€ х(ξ) (15) соответствует граничным услови€м в пластинке на сторонах контура ξ=0 и ξ=1 и характеру распределени€ нагрузки вдоль оси ξ.

ќтметим следующее обсто€тельство. Ќас интересует характер прогиба пластины в направлении оси ξ- амплитуду ¬ прогиба мы найдем в дальнейшем методом Ѕубнова Ц √алеркина. ¬ св€зи с этим выражение (15) дл€ х(ξ) желательно упростить так, чтобы коэффициент при старшей степени ξ был равен единице, т.е. прин€ть

. (16)

ѕереходим к построению аппроксимирующей функции у(h). √раничные услови€ по оси h в пластине следующие: при h=0 Ц шарнирный край, т.е. w(ξ,0)=0, Mh(ξ,0)=0, при h=1- свободный край, т.е. ћh(ξ,1)=0, Q*h(ξ,1)=0. ѕодставл€€ выражение (5) дл€ w(ξ,h) в формулы дл€ w, ћh, wТh, Q*h, получим

(17)

.

”слови€ (17) при h=0 можно привести к виду

, . (18)

”слови€ же при h=1 не допускают упрощени€, т.к. при h=1 на свободном краю пластины у(1)≠0, уФ(1)≠0, yТФ(1)≠0.

Ќеобходимо обратить внимание на то, что на шарнирном краю пластинки упрощаютс€, например, из (6) получено (7).

“аким образом, граничные услови€ по оси h имеют вид:

(19)

.

ќтметим, что в граничные услови€ (19) вошла функци€ х(ξ) и ее производна€ хФ(ξ), которые мен€ют свои значени€ вдоль оси ξ.

  св€зи с этим возникает необходимость заменить требование равенства нулю ћh и Q*h в любой точке кра€ h=1 услови€ми равенства нулю суммы работ всех моментов ћh(ξ,1) на углах поворота h (ξ,1) и приведенных поперечных сил Qh(ξ,1) на прогибах w(ξ,1) вдоль кра€ пластины h=1. Ёта замена называетс€ см€гчением граничных условий. ¬ силу принципа —ен - ¬енана [4] вносима€ при см€гчении граничных условий погрешность будет сказыватьс€ в малой зоне пластины у кра€ h=1.

“аким образом, окончательно после их см€гчени€ граничные услови€ по оси h принимают вид:

(20)

¬ырезанна€ из пластинки элементарна€ полоска шириной представлена на рис.5.

–ис.5

 

—ледует помнить, что граничные услови€ дл€ данной балки- полоски отличаютс€ от граничных условий (20) дл€ пластины.

ѕоперечна€ нагрузка в пластине измен€етс€ по оси h по линейному закону G(h)=h, поэтому дифференциальное уравнение изгиба рассматриваемой балки-полоски в безразмерном виде.

. (21)

ѕоследовательно интегриру€ (21) четыре раза:

(22)

(23)

(24)

. (25)

ѕроизвольные посто€нные интегрировани€ 1, —2, —3, —4 находим из граничных условий (20). »з услови€ получаем 4=0, а из - 2=0.

ƒл€ нахождени€ 1 и 2 используем два оставшихс€ уравнени€ системы (20). Ѕерем х(ξ) в виде (16) и вычисл€ем вход€щие в (20) определенные интегралы:

ѕодставл€€ в (26) формулы (22) Ц (25) и реша€ полученную систему, находим 1=-0.0980, —3=0.0281.

ѕодставим полученные значени€ 1, —2, —3, —4 в у(h):

. (27)

”прощаем выражение дл€ у(h) так, чтобы коэффициент при h5 был равен 1, и получаем

. (28)

јппроксимирующа€ функци€ у(h) (28) соответствует граничным услови€м в пластине по оси h и характеру распределени€ поперечной нагрузки по этой оси.

–ассмотрим возможные пути построени€ аппроксимирующих функций статическим методом ¬.«. ¬ласова дл€ пластин, различным образом закрепленных по контуру Ц рис.6.

 

–ис.6

Ќа рис. 6а изображена пластина, на сторонах контура которой или жЄсткое защемление, или шарнирное опирание. ƒл€ таких типов закреплений аппроксимирующие функции и стро€тс€ независимо одна от другой и без см€гчени€ граничных условий.

Ќа рис. 6б изображена пластина, у которой на сторонах контура и -заделка, на стороне контура -шарнирное опирание, а на стороне контура -свободный край. —начала необходимо построить функцию , затем использовать еЄ дл€ нахождени€ функции , использу€ см€гчЄнные на свободном краю пластин при услови€ и услови€ при .

(29)

ƒл€ изображЄнной на рис. 6в пластины сначала необходимо построить функци€ , а затем найти функцию , использу€ см€гчЄнные на свободных кра€х пластины и услови€

(30)

ѕри построении аппроксимирующих функций следует обратить внимание на то, что степень полинома (или ) зависит от характера распределени€ нагрузки по оси или . ≈сли распределение равномерное, то полином (например, (16)) имеет пор€док 4, если линейное, то (например, (28))-пор€док 5, а при распределении поперечной нагрузки по квадратичной параболе пор€док полинома составл€ет 6.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-01-29; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1292 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—лабые люди всю жизнь стараютс€ быть не хуже других. —ильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Ѕорис јкунин
==> читать все изречени€...

467 - | 452 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.022 с.