Приведение уравнений и формул к безразмерному виду

Для расчета пластин можно использовать уравнения и формулы в размерном виде [1+4]. При этом рассчитывается конкретная пластина с заданными размерами a, b, h,(м), коэффициентом Пуассона μ, модулем упругости Е (Па) – (1 Па = 1 Н/м²), поперечной нагрузкой q (Па).

Однако возможно рассчитать пластину в безразмерном виде, при этом результаты одного конкретного расчета соответствуют многим реальным пластинам.

Для приведения к безразмерному виду уравнений и формул [1+4], описывающих поведение пластины под поперечной нагрузкой, необходимо на основе теории подобия ввести безразмерные переменные и функции по формулам

; ; ; ; (1)

,

где - характер изменения нагрузки вдоль оси ,

- характер изменения нагрузки вдоль оси ,

- цилиндрическая жесткость пластины.

При этом внешняя нагрузка представляется в виде

, (2)

поэтому в (1) имеем .

Теперь пластина отнесена к безразмерным координатам , , , - рис.2.

Отношение характеризует отношение сторон пластины в плане, являются безразмерной поперечной активной нагрузкой, W(x,y) - безразмерный прогиб.

Также необходимо записать в безразмерном виде уравнение равновесия пластины и напряжения [1+4] для изгибающих М_x(x,y) и M_y(x,y) и крутящего Н(х,у) моментов и поперечных сил Q_x(x,y) и Q_y(x,y).

Рис.2

Необходимо помнить, что поперечные силы Q_x, Q_y и моменты M_x, M_y, H в пластинке являются погонными, т.е. приходящимися на единицу длины сечения пластинки и имеющего соответственно размерности Н/м, Нм/м.

Необходимо также обратить внимание на следующее: на контуре пластины поперечную силу Q_x(x,y) (или Q_y(x,y)) и крутящий момент Н(х,у) можно заменить статически им эквивалентной приведенной поперечной силой Q^*_x(x,y) (или Q^*_у(x,y)).

Подставляя формулы (1) в уравнение Софи Жермен и в выражения М_х, М_у, Н, Q^*_x, Q^*_y [1+4], получим следующие выражения для уравнения равновесия в безразмерном виде и для безразмерных функций:

(3)

.

Предположим, что необходимо рассчитать пластину, определенным образом закрепленную по контуру (например, защемленную), с определенным видом распределения нагрузки (например, равномерным), причем параметры , . Если проводит расчеты в безразмерном виде, приняв , , то получим решение для пластины с произвольными величинами цилиндрической жесткости D, толщины h, размера в плане а, уровня нагрузки q. То есть результаты одного расчета в безразмерном виде соответствуют множеству реальных пластин, поэтому все дальнейшие расчеты проводим в безразмерном виде на основе формул (1) и (3).