θ0, θ’0, В0, Н0
Для нахождения уравнения (4) будем использовать метод начальных параметров [1]. В этом случае в системе координат OXYZ, связанной с центром тяжести крайнего левого сечения стержня, выражения для угла закручивания θ(Z), депланации θ’(Z), момента В(Z) и изгибно-крутящего момента Мω(Z) будут иметь следующий вид:
(5)
Здесь 
- начальные параметры, то есть значения искомых функций 
в сечении Z=0. Выражения для данных функций можно представить в виде матрицы начальных параметров, имеющей следующий вид:
В выражениях (5) 
зависят от величины действующих на стержень распределенных по длине mi(Z) и сосредоточенных Mi крутящих моментов и в обозначениях рис.6 имеют следующий вид:
Рис.6
,
,
,
,
,
,
;
Напомним, что соответствующие грузовые слагаемые из выражений (5) учитываются лишь для сечений, расположенных правее приложения сосредоточенного момента Mi или начала участка действия распределенного по длине крутящего момента mi. Если распределенная по длине нагрузка заканчивается в некотором сечении ci, то ее условно продлевают до правого конца балки и одновременно с этим прикладывают, начиная с сечения, с координатой ci и до правого конца балки, нагрузку той же величины, но с обратным знаком. В том случае грузовые слагаемые, соответствующие распределенной крутящей нагрузке, действующей на участке от bi до ci, будут иметь вид:
(6)
Напомним, что знак для крутящих моментов Мi или mi берется положительным, если при взгляде со стороны положительного направления оси OZ вращение происходит по часовой стрелке. Сосредоточенный Мi и распределенные по длине mi крутящие моменты вычисляются по формуле:
, 
, (7)
где е - расстояние от центра тяжести до центра изгиба сечения.
Для нахождения значений начальных параметров , входящих в выражения (5), используют условия закрепления стержня на его концах при Z=0 и Z=l.
Если концевое сечение стержня защемлено, то для него имеем 
, 
, если шарнирно закреплено, то получаем , 
. На свободном конце стержня должны выполняться условия , 
. Напомним, что через 
обозначается полный крутящий момент.
Для нагрузок рассматриваемых типов, приведенных и в задании на расчет стержня, выражение для Н можно представить следующим образом:
.
Из условия следует, что:
(8)
Приведенные равенства позволяют найти значения двух начальных параметров непосредственно из условий при 
, а для нахождения величин оставшихся двух начальных параметров необходимо составить и решить систему двух алгебраических уравнений. Например, для защемленного сечения 
граничные условия дают систему уравнений 
, 
.
В качестве примера рассмотрим определение начальных параметров в стержне, изображенном на рис.4. На стержень действуют сосредоточенный М и распределенный по длине m крутящие моменты:
.
В данном случае величина эксцентриситета равняется
- см. [5], с. 20.
Тогда при значении характерного размера поперечного сечения
получим:
. 
.
На рис.7 изображен рассматриваемый стержень с действующими на него крутящими моментами
Рис.7
Граничные условия для этого стержня имеют вид:
, , (9)
, , (10)
Из условий (9) следует, что 
, 
.
Соотношения (10) 
и 
запишутся в виде:
(2м)=0.
Из второго соотношения (11) получаем значение начального параметра:
МН М.
Для вычисления входящей в выражение (11) изгибно-крутильной характеристики стержня 
необходимо вычислить значение 
.
Величина для поперечных сечений, состоящих из отдельных прямоугольных или криволинейных полос со сторонами 
и соответствующими толщинами 
, определяется по формуле [1]:
(12)
Суммирование здесь распространяется на все прямоугольники и полосы, из которых состоит поперечное сечение.
Поправочный коэффициент 
зависит от вида профиля поперечного сечения стержня и определяется экспериментальным путем. Ниже приведены значения дня некоторых типов поперечных сечений:
для двутавров, причем среднее значение равняется 
,
для швеллеров, причем 
,
для уголков, причем 
,
для 
- образных сечений, причем 
,
для тавровых сечений, 
.
Отметим, что для поперечных сечений, приведенных в задании на работу, принимаем величину , равной 
.
Определим начальные параметры, используя соотношения [11], для стержня, изображенного на рис.3 методических указаний [5].
Примем для поперечного сечения 
, 
, а также 
. На основании выражения (12) получаем:
.
На основании использования выражения для 
, приведенного на с. 22 методических указаний [5], имеем 
. Отсюда получаем величину:
.
Для величины 
с учетом полученного значения 
уравнения записываются следующим образом:
(13)
МН М
Отсюда получаем значения начальных параметров:
МН М2, МН М.
В качестве другого примера рассмотрим определение начальных параметров для стержня, изображенного на рис.5, поперечное сечение которого приведено на рис.13 методических указаний [5]. Для данного стержня на основании результатов расчета, приведенных на с. 23 [5], расстояние от центра тяжести изгиба равное 
. Принимая 
М, получим 
М. Тогда интенсивность распределенного крутящего момента составит:
МН М/ М.
На рис.8 показан рассматриваемый тонкостенный стержень с приложенной к нему крутящей нагрузкой.
Рис.8
Граничные условия для заданных закреплений концов стержня имеют вид:
при : 
.
.
: 
.
Для определения начальных параметров 
используются граничные условия (16) при :
(17)
Отсюда система уравнений для определения будет иметь следующий вид:
.
Решая эту систему, находим 
и .
Отметим, что при определении начальных параметров следует проводить вычисления с особой тщательностью, удерживая 5-6 знаков после запятой, то есть использовать микрокалькулятор, считывая все цифры.
ПОСТРОЕНИЕ ЭРЮР УГЛА ЗАКРУЧИВАНИЯ 
, ДЕПЛАНАЦИИ 
, БИМОМЕНТА 
И ИЗГИБАЮЩЕГО-КРУТЯШЕГО МОМЕНТА 
После нахождения величин всех начальных параметров с использованием выражений (5) можно построить эпюры функций 
, 
, 
, 
по длине балки. В качестве примера рассмотрим балку, изображенную на рис. 4, 7. Вид эпюр приведен на рис. 9. Вместо эпюр и приведены эпюры 
и 
, ординаты которых используются при построении эпюр 
и 
. Контролем правильности построения эпюр служит выполнение граничных условий при , . В данном случае при должно получиться , 
, а при 
- 
, 
.Контролем также может служить и вид эпюры 
, которая должна иметь постоянные ординаты на участках, где 
. Полезно также учитывать, что пропорционален 
, а 
.
В конце методических указаний производится программа расчета, составленная на алгоритмическом языке “Бейсик” УКМЦ Электроника МС-0511. Приводится схема алгоритма и инструкция к программе, позволяющая вычислять ординаты эпюр 
, 
, 
, 
.
Рис.9
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР НОРМАЛЬНЫХ 
, 
