Начальных параметров

θ₀, θ’₀, В₀, Н₀

Для нахождения уравнения (4) будем использовать метод начальных параметров [1]. В этом случае в системе координат OXYZ, связанной с центром тяжести крайнего левого сечения стержня, выражения для угла закручивания θ(Z), депланации θ’(Z), момента В(Z) и изгибно-крутящего момента М_ω(Z) будут иметь следующий вид:

(5)

Здесь - начальные параметры, то есть значения искомых функций в сечении Z=0. Выражения для данных функций можно представить в виде матрицы начальных параметров, имеющей следующий вид:

 

 

В выражениях (5) зависят от величины действующих на стержень распределенных по длине m_i(Z) и сосредоточенных M_i крутящих моментов и в обозначениях рис.6 имеют следующий вид:

 

Рис.6

,

,

,

,

,

,

;

Напомним, что соответствующие грузовые слагаемые из выражений (5) учитываются лишь для сечений, расположенных правее приложения сосредоточенного момента M_i или начала участка действия распределенного по длине крутящего момента m_i. Если распределенная по длине нагрузка заканчивается в некотором сечении c_i, то ее условно продлевают до правого конца балки и одновременно с этим прикладывают, начиная с сечения, с координатой c_i и до правого конца балки, нагрузку той же величины, но с обратным знаком. В том случае грузовые слагаемые, соответствующие распределенной крутящей нагрузке, действующей на участке от b_i до c_i, будут иметь вид:

(6)

Напомним, что знак для крутящих моментов М_i или m_i берется положительным, если при взгляде со стороны положительного направления оси OZ вращение происходит по часовой стрелке. Сосредоточенный М_i и распределенные по длине m_i крутящие моменты вычисляются по формуле:

, , (7)

где е - расстояние от центра тяжести до центра изгиба сечения.

Для нахождения значений начальных параметров , входящих в выражения (5), используют условия закрепления стержня на его концах при Z=0 и Z=l.

Если концевое сечение стержня защемлено, то для него имеем , , если шарнирно закреплено, то получаем , . На свободном конце стержня должны выполняться условия , . Напомним, что через обозначается полный крутящий момент.

Для нагрузок рассматриваемых типов, приведенных и в задании на расчет стержня, выражение для Н можно представить следующим образом:

.

Из условия следует, что:

(8)

Приведенные равенства позволяют найти значения двух начальных параметров непосредственно из условий при , а для нахождения величин оставшихся двух начальных параметров необходимо составить и решить систему двух алгебраических уравнений. Например, для защемленного сечения граничные условия дают систему уравнений , .

В качестве примера рассмотрим определение начальных параметров в стержне, изображенном на рис.4. На стержень действуют сосредоточенный М и распределенный по длине m крутящие моменты:

.

В данном случае величина эксцентриситета равняется

- см. [5], с. 20.

Тогда при значении характерного размера поперечного сечения

получим:

. .

На рис.7 изображен рассматриваемый стержень с действующими на него крутящими моментами

 

Рис.7

Граничные условия для этого стержня имеют вид:

, , (9)

, , (10)

Из условий (9) следует, что , .

Соотношения (10) и запишутся в виде:

 

(2м)=0.

Из второго соотношения (11) получаем значение начального параметра:

МН М.

Для вычисления входящей в выражение (11) изгибно-крутильной характеристики стержня необходимо вычислить значение .

Величина для поперечных сечений, состоящих из отдельных прямоугольных или криволинейных полос со сторонами и соответствующими толщинами , определяется по формуле [1]:

(12)

Суммирование здесь распространяется на все прямоугольники и полосы, из которых состоит поперечное сечение.

Поправочный коэффициент зависит от вида профиля попе­речного сечения стержня и определяется экспериментальным пу­тем. Ниже приведены значения дня некоторых типов поперечных сечений:

для двутавров, причем среднее значение равняется ,

для швеллеров, причем ,

для уголков, причем ,

для - образных сечений, причем ,

для тавровых сечений, .

Отметим, что для поперечных сечений, приведенных в задании на работу, принимаем величину , равной .

Определим начальные параметры, используя соотношения [11], для стержня, изображенного на рис.3 методических указаний [5].

Примем для поперечного сечения , , а также . На основании выражения (12) получаем:

.

На основании использования выражения для , приведенного на с. 22 методических указаний [5], имеем . Отсюда получаем величину:

.

Для величины с учетом полученного значения уравнения записываются следующим образом:

(13)

МН М

Отсюда получаем значения начальных параметров:

МН М², МН М.

В качестве другого примера рассмотрим определение начальных параметров для стержня, изображенного на рис.5, поперечное сечение которого приведено на рис.13 методических указаний [5]. Для данного стержня на основании результатов расчета, приведенных на с. 23 [5], расстояние от центра тяжести изгиба равное . Принимая М, получим М. Тогда интенсивность распределенного крутящего момента составит:

МН М/ М.

На рис.8 показан рассматриваемый тонкостенный стержень с приложенной к нему крутящей нагрузкой.

 

Рис.8

Граничные условия для заданных закреплений концов стержня имеют вид:

при : .

.

: .

Для определения начальных параметров используются граничные условия (16) при :

 

(17)

Отсюда система уравнений для определения будет иметь следующий вид:

.

Решая эту систему, находим и .

Отметим, что при определении начальных параметров следует проводить вычисления с особой тщательностью, удерживая 5-6 знаков после запятой, то есть использовать микрокальку­лятор, считывая все цифры.

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭРЮР УГЛА ЗАКРУЧИВАНИЯ , ДЕПЛАНАЦИИ , БИМОМЕНТА И ИЗГИБАЮЩЕГО-КРУТЯШЕГО МОМЕНТА

После нахождения величин всех начальных параметров с ис­пользованием выражений (5) можно построить эпюры функций , , , по длине балки. В качестве примера рассмотрим балку, изображенную на рис. 4, 7. Вид эпюр приведен на рис. 9. Вместо эпюр и приведены эпюры и , ординаты которых используются при построении эпюр и . Контролем правильности построения эпюр служит выполнение граничных условий при , . В данном случае при должно получиться , , а при - , .Контролем также может служить и вид эпюры , которая должна иметь постоянные ординаты на участках, где . Полезно также учитывать, что пропорционален , а .

В конце методических указаний производится программа расчета, составленная на алгоритмическом языке “Бейсик” УКМЦ Электроника МС-0511. Приводится схема алгоритма и инструкция к программе, позволяющая вычислять ординаты эпюр , , , .

 

Рис.9

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР НОРМАЛЬНЫХ ,