В теории автоматического управления широко используется специальный метод прикладного анализа – операционное исчисление, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.
Сущность операционного метода заключается в использовании прямого преобразовании Лапласа (ППЛ ), которое некоторой функции 
действительной переменной 
ставит в соответствие функцию 
комплексной переменной 
:
, (1.5)
где 
– переменная (множитель) Лапласа.
Условием существования преобразования Лапласа является сходимость интеграла в правой части равенства (1.5). Минимальное значение параметра s, при котором данный интеграл сходится, носит название абсциссы сходимости.
Обратное преобразование Лапласа (ОПЛ ) имеет вид:
. (1.6)
Функция носит называние оригинала, а функция – изображения.
Для пары преобразований Лапласа используется также операторная форма записи:
и 
где L – оператор Лапласа.
Вычисление интегралов (1.5), (1.6) для некоторых видов функций может оказаться трудным или громоздким, поэтому для упрощения расчетов используют таблицы соответствий «оригинал–изображение» (таблица 1).
Таблица 1 – Таблица оригиналов и их изображений (
– const)
Оригинал 
| Изображение F (p) |
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Свойства преобразования Лапласа:
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений отдельных функций:
.
2. Временному запаздыванию функции в области оригиналов соответствует умножение ее изображения на множитель 
, где 
– время запаздывания:
.
3. При нулевых начальных условиях дифференцирование в области оригиналов соответствует в области изображений умножению изображения функции на переменную Лапласа в степени, соответствующей порядку производной:
при условии, что 
, 
и т.д.
При ненулевых начальных условиях правило расчета изображения для производной 1-го порядка имеет вид:
.
4. Интегрирование в области оригиналов соответствует делению на переменную Лапласа в области изображений:
.
5. Постоянная величина выносится за знак преобразования:
, где 
.
6. По виду изображения 
можно судить о начальном (при 
) и предельном (при 
) значениях оригинала 
(теоремы о начальном и конечном значениях):
и 
.
С помощью преобразования Лапласа существенно упрощается процедура решения дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Выделяют следующие этапы решения:
1) преобразование заданного дифференциального уравнения по Лапласу, учитывая при этом начальные условия (то есть переход из области оригиналов в область изображений);
2) решение полученного алгебраического уравнения относительно изображения;
3) переход от изображения решения к его оригиналу (например, с помощью таблиц преобразования Лапласа).
Пример 4. Решить операторным методом Лапласа следующее дифференциальное уравнение (при нулевом начальном условии):
, 
.
Выполним прямое преобразование Лапласа над исходным уравнением:
.
Учитывая 1-е свойство преобразования Лапласа, получим в левой части уравнения два слагаемых:
.
Применив 3-е и 5-е свойства к первому слагаемому в левой части уравнения и используя таблицу преобразований Лапласа для элемента в правой части уравнения, получим следующий результат:
.
Далее решим уравнение относительно изображения:
,
откуда по таблице преобразований Лапласа находим решение исходного дифференциального уравнения:
.
Пример 5. Найти оригинал функции , зная ее изображение: 
.
По таблице 1 можно найти оригинал функции
для изображения 
, которое отличается от заданного по условию.
Поэтому заданное выражение изображения необходимо преобразовать к табличному виду, учитывая 5-е свойство преобразования Лапласа:
.
В результате для искомого оригинала получим:
.
