Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕреобразование Ћапласа




 

¬ теории автоматического управлени€ широко используетс€ специальный метод прикладного анализа Ц операционное исчисление, в основе которого лежит функциональное преобразование Ћапласа.

—ущность операционного метода заключаетс€ в использовании пр€мого преобразовании Ћапласа (ѕѕЋ ), которое некоторой функции действительной переменной ставит в соответствие функцию комплексной переменной :

, (1.5)

где Ц переменна€ (множитель) Ћапласа.

”словием существовани€ преобразовани€ Ћапласа €вл€етс€ сходимость интеграла в правой части равенства (1.5). ћинимальное значение параметра s, при котором данный интеграл сходитс€, носит название абсциссы сходимости.

ќбратное преобразование Ћапласа (ќѕЋ ) имеет вид:

. (1.6)

‘ункци€ носит называние оригинала, а функци€ Ц изображени€.

ƒл€ пары преобразований Ћапласа используетс€ также операторна€ форма записи:

и

где L Ц оператор Ћапласа.

¬ычисление интегралов (1.5), (1.6) дл€ некоторых видов функций может оказатьс€ трудным или громоздким, поэтому дл€ упрощени€ расчетов используют таблицы соответствий ЂоригиналЦизображениеї (таблица 1).

 

 

“аблица 1 Ц “аблица оригиналов и их изображений ( Ц const)

ќригинал »зображение F (p)
 
 
 
 

—войства преобразовани€ Ћапласа:

1. »зображение суммы функций равно сумме изображений отдельных функций:

.

2. ¬ременному запаздыванию функции в области оригиналов соответствует умножение ее изображени€ на множитель , где Ц врем€ запаздывани€:

.

3. ѕри нулевых начальных услови€х дифференцирование в области оригиналов соответствует в области изображений умножению изображени€ функции на переменную Ћапласа в степени, соответствующей пор€дку производной:

при условии, что , и т.д.

ѕри ненулевых начальных услови€х правило расчета изображени€ дл€ производной 1-го пор€дка имеет вид:

.

4. »нтегрирование в области оригиналов соответствует делению на переменную Ћапласа в области изображений:

.

5. ѕосто€нна€ величина выноситс€ за знак преобразовани€:

, где .

6. ѕо виду изображени€ можно судить о начальном (при ) и предельном (при ) значени€х оригинала (теоремы о начальном и конечном значени€х):

и .

— помощью преобразовани€ Ћапласа существенно упрощаетс€ процедура решени€ дифференциальных или интегродифференциальных уравнений с посто€нными коэффициентами.

¬ыдел€ют следующие этапы решени€:

1) преобразование заданного дифференциального уравнени€ по Ћапласу, учитыва€ при этом начальные услови€ (то есть переход из области оригиналов в область изображений);

2) решение полученного алгебраического уравнени€ относительно изображени€;

3) переход от изображени€ решени€ к его оригиналу (например, с помощью таблиц преобразовани€ Ћапласа).

ѕример 4. –ешить операторным методом Ћапласа следующее дифференциальное уравнение (при нулевом начальном условии):

, .

¬ыполним пр€мое преобразование Ћапласа над исходным уравнением:

.

”читыва€ 1-е свойство преобразовани€ Ћапласа, получим в левой части уравнени€ два слагаемых:

.

ѕрименив 3-е и 5-е свойства к первому слагаемому в левой части уравнени€ и использу€ таблицу преобразований Ћапласа дл€ элемента в правой части уравнени€, получим следующий результат:

.

ƒалее решим уравнение относительно изображени€:

,

откуда по таблице преобразований Ћапласа находим решение исходного дифференциального уравнени€:

.

ѕример 5. Ќайти оригинал функции , зна€ ее изображение: .

ѕо таблице 1 можно найти оригинал функции

дл€ изображени€ , которое отличаетс€ от заданного по условию.

ѕоэтому заданное выражение изображени€ необходимо преобразовать к табличному виду, учитыва€ 5-е свойство преобразовани€ Ћапласа:

.

¬ результате дл€ искомого оригинала получим:

.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 872 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

≈сли вы думаете, что на что-то способны, вы правы; если думаете, что у вас ничего не получитс€ - вы тоже правы. © √енри ‘орд
==> читать все изречени€...

1833 - | 1816 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.