Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћатематическое моделирование объектов управлени€




–азличные по физической природе объекты управлени€ могут описыватьс€ однотипными математическими зависимост€ми. Ёта особенность положена в основу метода математических аналогий, широко используемого в теории автоматического управлени€.

ѕостроение любой системы управлени€ начинаетс€ с изучени€ объекта управлени€ и составлени€ его математического описани€, которое может быть получено экспериментальным, аналитическим или комбинированным путем.

¬ первом случае уравнени€ объекта получают путем постановки специальных экспериментов на объекте (метод активного эксперимента) либо статистической обработкой результатов длительной регистрации координат объекта в услови€х его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента).

ѕри аналитическом описании уравнени€ объекта получают на основании физико-химических закономерностей протекающих в нем процессов.

 омбинированный путь получени€ математического описани€ объектов подразумевает обычно составление уравнений аналитическим путем с последующим уточнением коэффициентов этих уравнений экспериментальным методом.

”равнени€ объектов автоматического регулировани€ в зависимости от описываемого ими режима работы подраздел€ютс€ на уравнени€ статики и динамики.

”равнени€ статики описывают установившийс€ режим, при котором все координаты объекта остаютс€ неизменными во времени, то есть объект находитс€ в состо€нии равновеси€. ќни представл€ют собой алгебраические или дифференциальные уравнени€, содержащие производные по какому-либо параметру, кроме времени. —ущественной особенностью уравнений статики €вл€етс€ неизменность координат объекта во времени.

”равнени€ динамики описывают неустановившийс€ или переходный режим в объекте. ¬ыходна€ координата объекта при этом €вл€етс€ функцией времени, и в общем виде уравнение динамики будет дифференциальным уравнением, содержащим производные по времени.

¬ид уравнений статики и динамики определ€етс€ характером самого объекта управлени€ и числом независимых координат, однозначно определ€ющих состо€ние объекта в каждый момент времени Ц числом степеней свободы.

¬ зависимости от числа степеней свободы все объекты можно разделить на два класса:

1) объекты с сосредоточенными параметрами, которые обладают конечным числом степеней свободы и описываютс€ обыкновенными дифференциальными уравнени€ми;

2) объекты с распределенными параметрами, которые имеют бесконечное число степеней свободы и описываютс€ дифференциальными уравнени€ми в частных производных.

 оэффициенты этих дифференциальных уравнений характеризуют конструктивные особенности объекта, физические и химические свойства веществ, а также различные гидродинамические и тепловые константы. ќбычно все эти показатели называют Ђпараметрамиї
объекта.

ќбъекты, параметры которых неизменны во времени, называютс€ стационарными и описываютс€ уравнени€ми с посто€нными коэффициентами. —войства нестационарных объектов измен€ютс€ с течением времени, что отражаетс€ на соответствующих уравнени€х, коэффициенты которых также станов€тс€ функци€ми времени.

Ѕольшинство технологических объектов регулировани€ €вл€етс€ нестационарными объектами, однако скорость изменени€ их свойств намного меньше скорости процессов регулировани€. “акие объекты можно приближенно рассматривать как стационарные в течение определенного промежутка времени.

ќбъекты управлени€ называютс€ линейными, если они подчин€ютс€ принципу суперпозиции, который заключаетс€ в том, что реакци€ объекта на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый из сигналов в отдельности. Ћинейные объекты описываютс€ линейными дифференциальными уравнени€ми, то есть уравнени€ми, в которых искома€ функци€ и ее производные содержатс€ в первой степени.

ƒл€ линейного стационарного объекта с сосредоточенными параметрами уравнение состо€ни€ в общем случае может быть записано в виде:

(1.1)

где Ц входной сигнал;

Ц выходной сигнал;

Ц посто€нные.

ѕрименение линейных дифференциальных уравнений позвол€ет использовать мощные математические средства синтеза систем управлени€. ќднако на практике строго линейных систем не существует, поскольку люба€ статическа€ или динамическа€ характеристика системы может быть линейна только на определенном участке (например, на определенном интервале частот), и, кроме того, стабильность этой характеристики может быть зависима от р€да факторов, измен€ющихс€ во времени.

ѕример 1. —оставить дифференциальное уравнение дл€ электрической системы в виде RC -схемы, в которой за входное воздействие прин€то напр€жение , а за выходной сигнал Ц напр€жение (рисунок 1.2).

“ок в цепи определ€етс€ током через конденсатор:

.

–исунок 1.2 Ц RC -схема

 

ѕо закону  ирхгофа справедливо следующее соотношение:

ќбознача€ , получим дифференциальное уравнение 1-го пор€дка, описывающее поведение рассматриваемой электрической системы:

. (1.2)

ѕример 2. —оставить дифференциальное уравнение дл€ системы, представл€ющей собой гидравлическую емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью . ѕлощадь основани€ емкости Ц , высота сло€ жидкости Ц (рису-нок 1.3).

 

–исунок 1.3 Ц √идравлическа€ емкость

 

»зменение объема жидкости в емкости определ€етс€ соотношением

,

где Ц объем жидкости.

”читыва€, что объем цилиндра определ€етс€ по правилу

,

уравнение, описывающее изменение уровн€ жидкости в рассматриваемой емкости, примет вид:

. (1.3)

ѕример 3. —оставить дифференциальное уравнение дл€ системы, представл€ющей собой гидравлическую емкость цилиндрической формы, в которую поступает жидкость с объемной скоростью и вытекает через отверстие в днище площадью с объемной скоростью . ѕлощадь основани€ емкости Ц , высота сло€ жидкости Ц (рисунок 1.4).

 

–исунок 1.4 Ц √идравлическа€ емкость со стоком

 

¬ данном случае изменение объема жидкости в емкости будет определ€тьс€ разностью объемных скоростей подачи и истечени€ жидкости:

.

ѕри равенстве притока и стока жидкости в системе будет наблюдатьс€ стационарный режим, соответствующий посто€нному уровню жидкости .

”чтем, что скорость истечени€ жидкости зависит от высоты сло€ жидкости в емкости по соотношению

,

где k Ц коэффициент пропорциональности, завис€щий от свойств жидкости, ускорени€ свободного падени€ и площади отверсти€ в днище.

 

¬ итоге поведение рассматриваемой системы будет описыватьс€ нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида:

. (1.4)





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-08; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1286 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—ложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © јмели€ Ёрхарт
==> читать все изречени€...

1986 - | 1893 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.015 с.