(1)
-соленоидальный. Его всегда можно положить равным ротору некоторый вспомогательный вектор 
.
(2)
- вспомогательный вектор, называемый вектор-потенциалом.
Подставим (2) в первое уравнение Максвелла:
Откуда 
.
Таким образом, 
является потенциальным и его можно представить в виде:
(3)
- некоторая скалярная функция координат и времени, названная скалярным потенциалом.
нельзя представить в виде градиента от некоторой скалярной функции.
Он имеет вихревой характер:
(4)
причём 
выражает закон электромагнитной индукции.
Если скалярный и векторный потенциалы введены, то уравнение первой группы Максвелла удовлетворяются тождественно. и 
определяются из уравнений второй группы Максвелла.
Учитывая, что 
, где 
получаем: 
(5)
(6)
Потенциалы А и – вспомогательные величины, введённые для упрощения, они не изменяют и 
, но позволяют сделать (5) и (6) независимыми. Для однозначного знания поля 
необходимо знать его ротор и дивергенцию. Но векторный потенциал А введён посредством (2), т.е. задан лишь ротор , а дивергенция – нет. Зададим её значение:
(7) – соотношение Лоренца.
Тогда (5) – (6) примут вид:
(8)
(9)
Т.е. переменные разделились.
(8) – (9) эквивалентны исходным уравнениям Максвелла.
Если заданы 
, удовлетворяют уравнениям непрерывности, то интегрирование (8),(9) даст и ,а и получим из (2),(4).
Уравнения типа 
, где 
- заданная функция координат и времени называют уравнениями Даламбера.
Вводя оператор Даламбера
это уравнение записывают в компактной форме:
(10)
Если 
,то (10) переходим в волновое уравнение:
(11)
Если 
, 
, (т.е. эти функции не зависят от времени), уравнение Пуассона:
(12)
С математической точки зрения, уравнения (10) – (12) проще уравнений Максвелла (в интегральной форме). Поэтому метод потенциалов представляет основной расчётный аппарат теории поля.
Калибровочная инвариантность потенциалов.
Определение потенциалов и является неоднозначным и допускает известный произвол. Обсудим вопрос о степени этого произвола. Из определения вектора-потенциала следовательно что если совершить преобразование:
(1) где - произвольная функция, то мы придём к тому же значению .
Таким образом, 
. При этом для получаем:
Производя замену 
(2), получим прежнее выражение для , но уже через 
и 
.
Таким образом, вектор-потенциал определён с точностью до градиента произвольной функции 
,а скалярный потенциал до произвольной по t той же функции. В общем случае, два поля, описываемые потенциалами 
, 
физически тождественны, если 
и 
, и могут быть связаны соотношениями (1)-(2). Иначе говоря, уравнения электродинамики неизменны, инвариантны по отношению к (1),(2).
Различные способы выбора и , оставляющие неизменными и , называются различными калибровками потенциалов. Инвариантность и по отношению к калибровкам называют калибровочной/градиентной инвариантностью. (1) – (2) – калибровочные преобразованиями. Свойства калибровочной инвариантности подбирать потенциалы так, чтобы соотношения теории поля приняли максимально простой вид.
Например, соотношение Лоренца, отвечающие калибровке Лоренца. Убедимся, что такая калибровка всегда возможна.
Пусть для 
, 
соотношение Лоренца не выполняется:
Произведём калибровочные преобразования: 
, 
(3)
(4)
Условия Лоренца будут выполняется. Так как (4) будет выполнятся для любого 
, то калибровка Лоренца всегда возможна.
Произвольная функция 
не определяется полностью уравнением (4). К ней можно добавить произвольную 
, такаю 
.
Совершая преобразование: 
, 
Приходим к тем же значением и .
При этом и 
удовлетворяет условию Лоренца:
Поэтому можно подобрать 
так, чтобы выполнялось ещё одно условие, налагаемое на 
.
