Интегральная формула уравнений Максвелла

На опыте измеряются величины, содержащиеся в интегральных характеристиках электромагнитного поля. Поэтому при решении некоторых задач удобнее перейти к интегральной формуле уравнений Максвелла.

Рассмотрим уравнение (2б) предыдущего параграфа. Проинтегрируем его по объему

.

Учитывая, что - суммарный заряд, сосредоточенный в объеме , и применяя теорему Гаусса к левой части, приходим к интегральной форме уравнения (2б):

. (1) Здесь S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. Поток вектора через некоторую поверхность S, не обязательно замкнутую, обозначают обычно .

Соотношение (1) в теории электричества называется теоремой Гаусса.

Аналогичные выкладки применительно к уравнению (2б) предыдущего параграфа дают

. (2)

Поток вектора через некоторую поверхность принято обозначать буквой :

.

Пусть L - некоторый замкнутый контур, стягиваемый поверхностью S. Вычислим интеграл по поверхности S от левой и правой части (1а) предыдущего параграфа:

.

Применяя теорему Стокса к левой части этого соотношения, получим:

, (3)

или

, (3а)

где через обозначена работа электрических сил, производимая полем над единичным точечным зарядом при перемещении его по конечному замкнутому контуру L. Величину называют циркуляцией вектора .

Уравнение (2а) предыдущего параграфа приводит к соотношению:

,

где - полный ток через поверхность .

Т.о. система уравнений Максвелла для поля в вакууме в интегральной форме имеет вид:

(5)

(6)