Приложение. Основные понятия и теоремы

Основные понятия и теоремы.

1. Запись, составленная из чисел, букв латинского алфавита, знаков операций и скобок называется выражением с переменными. Ограничимся рассмотрением выражений с одной переменной.

2. Множество значений переменной, при которых выполнимы все операции, входящие в выражение, называется областью допустимых значений переменной (ОДЗ) или областью определения выражения.

3. Значение выражения – это число, которое получается, если выбрать некоторое значение переменной из области определения выражения и выполнить все операции в него входящие.

4. Два выражения называются тождественно равными на множестве D, если они определены на этом множестве и все их соответственные значения равны.

5. Замена данного выражения выражением ему тожественно равным на множестве D называется тождественным преобразованием выражения.

***

6. Под уравнением будем понимать равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.

Ограничимся рассмотрением уравнений с одной переменной, которые в общем виде могут быть записаны f (x)= g (x) (1).

7. Областью определения уравнения (1) называется множество всех таких значений х, при которых определены выражения f и g (иными словами, область определения уравнения – это пересечение областей определения выражений f и g).

8. Решением (корнем) уравнения (1) называется значение переменной, обращающее его в истинное числовое равенство.

9. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

10. Два уравнения f ₁(x)= g ₁(x) и f ₂(x)= g ₂(x) называются равносильными (эквивалентными) на множестве М, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие этому множеству. Иными словами, если каждый корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения и наоборот, каждый корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то эти уравнения равносильны.

11. Если каждый корень уравнения f ₁(x)= g ₁(x), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения f ₂(x)= g ₂(x), то второе уравнение называется следствием первого уравнения на множестве М.

Зависимость между корнями данного уравнения и уравнения-следствия можно изобразить графически.

Рис.13