Основные понятия и теоремы.
1. Запись, составленная из чисел, букв латинского алфавита, знаков операций и скобок называется выражением с переменными. Ограничимся рассмотрением выражений с одной переменной.
2. Множество значений переменной, при которых выполнимы все операции, входящие в выражение, называется областью допустимых значений переменной (ОДЗ) или областью определения выражения.
3. Значение выражения – это число, которое получается, если выбрать некоторое значение переменной из области определения выражения и выполнить все операции в него входящие.
4. Два выражения называются тождественно равными на множестве D, если они определены на этом множестве и все их соответственные значения равны.
5. Замена данного выражения выражением ему тожественно равным на множестве D называется тождественным преобразованием выражения.
***
6. Под уравнением будем понимать равенство двух выражений с одной или несколькими переменными.
Ограничимся рассмотрением уравнений с одной переменной, которые в общем виде могут быть записаны f (x)= g (x) (1).
7. Областью определения уравнения (1) называется множество всех таких значений х, при которых определены выражения f и g (иными словами, область определения уравнения – это пересечение областей определения выражений f и g).
8. Решением (корнем) уравнения (1) называется значение переменной, обращающее его в истинное числовое равенство.
9. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
10. Два уравнения f 1(x)= g 1(x) и f 2(x)= g 2(x) называются равносильными (эквивалентными) на множестве М, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие этому множеству. Иными словами, если каждый корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем второго уравнения и наоборот, каждый корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, является корнем первого уравнения, то эти уравнения равносильны.
11. Если каждый корень уравнения f 1(x)= g 1(x), принадлежащий множеству М, является корнем уравнения f 2(x)= g 2(x), то второе уравнение называется следствием первого уравнения на множестве М.
Зависимость между корнями данного уравнения и уравнения-следствия можно изобразить графически.
Рис.13
