Преобразования логарифмов

4.1. Анализ преобразований

Преобразования логарифмов осуществляются посредством приведенных ниже основных свойств.

1. Если

2. Если х >0, у >0, то

3. Если х >0, у >0, то

4. Если

5. Если х >0, то

(в частности, , ).

Проанализируем перечисленные свойства с позиции влияния на область допустимых значений переменных х и у,если не ограничиваться рассмотрением их положительных значений.

Свойство 1:

Очевидно, что применение первого свойства расширяет область допустимых значений переменной х, если использовать данное тождество «слева направо» и сужает её при использовании свойства «справа налево». Следовательно, при решении уравнений использование свойства 1 может привести либо к потере корней, либо к появлению посторонних. Чтобы не изменить область определения уравнения (сохранить равносильность) в процессе применения свойства 1, целесообразно воспользоваться такой формой его записи:

(слева направо), (справа налево).

Рассмотрим иллюстрирующие примеры.

Пример 1. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе решая которую получим, х = -2 – решение системы.

Ответ: -2.

Пример 2. Решить уравнение .

Используя свойства степеней, получим .

Применение основного логарифмического тождества приведёт к уравнению с расширенной областью определения. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Решим уравнение системы методом введения вспомогательного угла. Представим его в виде Разделим обе части уравнения на Тогда оно может быть записано в виде

, ,

Выберем среди полученных чисел решения системы, то есть числа, принадлежащие первой четверти. Ответ:

Свойство 2:

В левой части равенства переменные х и у могут принимать значения одного знака, а в правой – только положительные. Следовательно, применение свойства 2 в процессе решения уравнений меняет его область определения, что может привести к нарушению равносильности (потере или приобретению посторонних корней). Поэтому свойство 2 используется в форме или в форме . При этом область допустимых значений х и у расширяется до множества всех действительных чисел, кроме 0. Следовательно, в процессе решения уравнения могут появиться посторонние корни, которые отсеиваются проверкой их принадлежности области определения или подстановкой в данное уравнение. При использовании свойства справа налево следует сохранить область допустимых значений х и у, используя систему