Преобразование тригонометрических выражений

5.1. Анализ преобразований.

В тригонометрии существует ряд формул, левая и правая части которых имеют разные области определения. Применение этих формул в процессе решения уравнений приводит к потере корней или к приобретению посторонних. Поэтому такие формулы называют опасными или ненадёжными. Приведём список таких формул.

2. ().

3. ().

3.1. ().

3.2.

4. 5. (

8. ().

(В скобках указаны числа, расширяющие или сужающие область допустимых значений переменной при переходе от выражения в одной части к выражению в другой части формулы).

Рассмотрим ряд примеров, в которых перечисленные формулы используются в процессе решения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Выполним преобразования, не меняющие область определения данного уравнения: , Далее по формуле 6 получим уравнение с расширенной областью определения. В неё вошли числа вида (), которые могут оказаться посторонними корнями. Следовательно, данное уравнение равносильно системе решая её, получим

Для решения системы используем окружность (рис. 10).

Ответ:

Применение формулы 6 справа налево привело к расширению области определения данного уравнения и к появлению посторонних решений. Их

отсеивание подстановкой в данное уравнение затруднительно, поэтому целесообразно использовать метод равносильных переходов.

Пример 2. Решить уравнение

По формуле 4 данное уравнение может быть записано в виде . При этом область определения расширится, так как в неё войдут числа, для которых cos2x = 0. Следовательно, данное уравнение равносильно системе , которая решений не имеет.

Ответ: решений нет. Покажем на ряде примеров потерю корней уравнения в результате применения перечисленных формул.

Пример 3. Решить уравнение

Область определения данного уравнения: Воспользуемся формулой 9, получим уравнение с областью определения Применение формулы 9 привело к сужению области определения данного уравнения на числа вида , что может явиться возможной причиной потери решений. Подстановкой убеждаемся, что - решения данного уравнения. Следовательно, оно равносильно совокупности

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Область определения данного уравнения составляет множество всех действительных чисел R. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой (формулы 5,6). Получим уравнение , в область определения которого не входят числа вида являющиеся корнями данного уравнения. То есть использование формул 5 и 6 слева направо привело к сужению области определения данного уравнения и, как следствие, к потере его корней. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Область определения данного уравнения задаётся системой

Воспользуемся формулами 5, 7 и 3.2, данное уравнение примет вид Его область определения задаётся системой

Анализ областей определения данного и полученного уравнения позволяет сделать вывод о её сужении на числа вида , которые являются корнями данного уравнения, то есть данное уравнение равносильно совокупности