Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“ождественные преобразовани€ и равносильность уравнений




“.≈. Ѕондаренко

 

 

“ќ∆ƒ≈—“¬≈ЌЌџ≈ ѕ–≈ќЅ–ј«ќ¬јЌ»я ¬ ѕ–ќ÷≈——≈ –≈Ў≈Ќ»я

”–ј¬Ќ≈Ќ»…

 

 

”чебное пособие по элементарной математике

 

 

¬оронеж

”ƒ  512.3(075.8)

ЅЅ  22.141.€7

– е ц е н з е н т ы:

 

кандидат педагогических наук, почЄтный профессор кафедры информатики и методики преподавани€ математики (¬√ѕ”) Ё.—. Ѕел€ева;

кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавани€ математики (¬√ѕ”) —.ј. “иторенко

Ѕондаренко “. ≈.

“ождественные преобразовани€ в процессе решени€ уравнений: учебное пособие по элементарной математике. Ц ¬оронеж: Ќј” ј Ц ёЌ»ѕ–≈——, 2012. Ц 59с.

Ќасто€щее учебное пособие посв€щено использованию тождественных преобразований в процессе решени€ уравнений различных видов. ѕредметом исследовани€ €вл€ютс€ преобразовани€, измен€ющие область определени€ уравнени€, и, как следствие, привод€щие к по€влению посторонних корней или к их потере. ѕриводитс€ анализ каждого преобразовани€, и рассматриваютс€ средства, позвол€ющие сохранить равносильность уравнений. ¬ книге содержатс€ многочисленные примеры решени€ уравнений, а также задани€ дл€ самосто€тельной работы учащихс€.

ѕособие предназначено дл€ обеспечени€ курса элементарной математики в педагогическом вузе. ќно может быть использовано учител€ми средних общеобразовательных учреждений в процессе обучени€ математике, дл€ подготовки учащихс€ к единому государственному экзамену или дл€ проведени€ элективного курса в услови€х профильного обучени€.

 

 

© Ѕондаренко “. ≈., 2012

—одержание

 

ѕредисловие................................................ 4

I. “ождественные преобразовани€ и равносильность уравнений...... 6

II.“ождественные преобразовани€, измен€ющие область определени€

уравнени€................................................ 8

1. ѕриведение подобных слагаемых............................ 8

1.1. јнализ преобразовани€................................... 8

1.2.  омплекс заданий.......................................... 10

2. —окращение дробей........................................ 11

2.1. јнализ преобразовани€......................................11

2.2.  омплекс заданий..........................................14

3. ѕреобразовани€ корней арифметических корней............... 15

3.1. јнализ преобразований..................................... 15

3.2.  омплекс заданий.......................................... 32

4. ѕреобразовани€ логарифмов................................ 35

4.1. јнализ преобразований.................................... 35

4.2.  омплекс заданий.......................................... 44

5. ѕреобразование тригонометрических выражений............... 46

5.1. јнализ преобразований..................................... 46

5.2.  омплекс заданий.......................................... 51

ѕриложение. ќсновные пон€ти€ и теоремы....................... 53

Ћитература................................................... 59

 

 

ѕредисловие

»зучение математики тесно св€зано с решением уравнений. Ётот процесс иногда приводит к удивительным результатам.  азалось бы решение выполнено верно, но имеющийс€ в учебнике ответ не совпадает с полученным. ѕриведЄм примеры.

–ешим уравнение (1) [2, є 5.110, с. 87]. ”множим обе части данного уравнени€ на сопр€жЄнное выражение .

ѕолучим уравнение (2). ќчевидно, что х = 0 Ц корень уравнени€ (2). ѕриведЄм его к виду и сложим с данным уравнением (1), тогда получим уравнение , реша€ которое найдЄм корни х = -8, х = 8. ѕодстановкой в данное уравнение убеждаемс€, что -8, 0, 8 - посторонние корни данного уравнени€.

–ассмотрим ещЄ один пример. –ешим уравнение »спользу€ свойство арифметических корней, получим уравнение , имеющее корень ќднако очевидно, что и число -1 €вл€етс€ потер€нным корнем данного уравнени€.

“аким образом, иногда решение уравнени€ может привести к по€влению посторонних корней или к их потере. ¬озникает вопрос, почему это происходит? ¬ насто€щем пособии приводитс€ подробный ответ на этот вопрос дл€ случа€, когда выполн€ютс€ тождественные преобразовани€ выражений, вход€щих в данное уравнение. ¬ нЄм перечислены преобразовани€, выполнение которых может привести к изменени€м множества корней уравнени€, и описаны средства, позвол€ющие сохранить его. ѕособие содержит многочисленные примеры с решени€ми и упражнени€ дл€ самосто€тельной работы учащихс€.

”равнени€, в которых могут по€витьс€ посторонние решени€ или происходит их потер€ представлены в различных литературных источниках. Ќекоторые из них приведены в списке литературы. ќсобенно интересные задани€ включены из книг [1], [2], [3]. ќднако отличительной особенностью данного пособи€ €вл€етс€ его тематическа€ направленность и систематизаци€ учебного материала.

јвтор выражает благодарность рецензентам Ё.—.Ѕел€евой, —.ј “иторенко за участие в совершенствовании пособи€ и надеетс€, что оно послужит повышению качества математической подготовки студентов и школьников.

 

 

“ождественные преобразовани€ и равносильность уравнений

–ешение данного уравнени€ Ц это процесс, состо€щий в переходе к другим уравнени€м до тех пор, пока не будет получено уравнение с очевидными корн€ми. “акие переходы осуществл€ютс€ посредством различных преобразований. ѕри этом одни преобразовани€ привод€т к уравнению с такими же корн€ми (равносильному данному), другие - не обладают таким свойством. Ќапомним, что два уравнени€ f1(x)=g1(x) и f2(x)=g2(x) называютс€ равносильными (эквивалентными) на множестве ћ, если они имеют одни и те же решени€, принадлежащие этому множеству. ѕреобразовани€, сохран€ющие решени€, изучаютс€ в теории равносильных уравнений. ќсновное содержаниеэтой теории составл€ют теоремы, гарантирующие замену данного уравнени€ ему равносильным. Ќар€ду с основными пон€ти€ми они приведены в приложении к насто€щему курсу (с.49). ќсобый интерес представл€ет дл€ нас теорема 1. ѕриведЄм еЄ формулировку: если в уравнении f1(x)=g1(x) выполнить тождественное преобразование выражений f1(x) или (и) g1(x), по формуле, не мен€ющей область определени€ данного уравнени€ D, то получитс€ уравнение f2(x)=g2(x), равносильное данному уравнению на множестве D.

Ќапример, в соответствии с теоремой 1 уравнени€ х 3 + 3 х 2 - 4 х- 12 = 0и(х+ 3)(х- 2)(х+ 2) = 0 равносильны на множестве всех действительных чисел, а уравнени€ не равносильны, так как х=- 5, €вл€€сь корнем первого уравнени€, не €вл€етс€ корнем второго уравнени€. ѕричина нарушени€ равносильности состоит в том, что в результате выполненного преобразовани€ по формуле изменилась (сузилась) область определени€ данного уравнени€, что привело к потере корн€.

ƒокажем теорему 1 учитыва€, что каждое уравнение вида f(x)=g(x) может быть приведено к виду F(x)=0.

ƒано: уравнение F1(x) = 0 (1) с областью определени€ D,

р Ц формула (тождество), посредством которого выполн€етс€ преобразование выражени€ F1(x), не измен€юща€ D,

F2(x) = 0 (2) Ц уравнение, полученное из данного уравнени€ в результате преобразовани€.

ƒоказать: уравнени€ (1) и (2) равносильны.

ƒоказательство

ѕусть х 1 Ц корень уравнени€ (1), тогда x 1ÎD и F1(x 1) = 0 Ц истинное числовое равенство. ¬ результате применени€ тождества р выражение F1(x) примет вид F2(x). ќбласть определени€ D не изменилась, то есть F2(x 1) имеет смысл. ѕо определению тождественно равных выражений F2(x 1) = F1(x 1), то есть F2(x 1) = 0 Ц истинное числовое равенство, следовательно, x 1 Ц корень уравнени€ (2).

ќбратно. ѕусть х 2 Ц корень уравнени€ (2), тогда x 2ÎD и F2(x 2) = 0 Ц истинное числовое равенство. ¬ результате применени€ тождества р выражение F2(x) примет вид F1(x). ќбласть определени€ D не изменилась, то есть F1(x 2) имеет смысл. ѕо определению тождественно равных выражений F1(x 2) = 0 Ц истинное числовое равенство, что означает x 2 Ц корень уравнени€ (1). –авносильность доказана.

“аким образом, с преобразовани€ми, не измен€ющими области определени€ данного уравнени€, ситуаци€ €сна. ќднако открытым остаЄтс€ вопрос, как действовать, если тождественное преобразование мен€ет область определени€ данного уравнени€. ѕри этом оно может расширить еЄ, и тогда возможны посторонние корни, либо сузить, что может привести к потере корней.

¬ы€вим и исследуем тождественные преобразовани€, обладающие свойством расшир€ть или сужать область определени€ уравнени€, и определим дл€ них средства сохранени€ равносильности уравнений.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 2797 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2192 - | 2047 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.01 с.