Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕреобразовани€ арифметических корней




3.1. јнализ преобразований

ѕреобразовани€ арифметических корней осуществл€ютс€ посредством приведенных ниже основных свойств.

1. ≈сли

2. ѕри любом значении а

3. ≈сли

4. ≈сли

5. ≈сли

6. ≈сли

7. ≈сли

ѕроанализируем перечисленные свойства с позиции их вли€ни€ на область допустимых значений переменных а и в,если не ограничиватьс€ рассмотрением их неотрицательных значений значений.

—войство 1:

–ассмотрим чЄтные значени€ показател€ корн€ п =2 k, . “огда область определени€ левой части равенства есть множество неотрицательных действительных чисел. ¬ правой части равенства допустимыми €вл€ютс€ любые значени€ а. —ледовательно, использование свойства 1 слева направо приводит к расширению области определени€, а справа налево Ц к еЄ сужению, что при решении уравнений может способствовать приобретению посторонних корней или их потере.

„тобы не происходило изменени€ области определени€ при использовании свойства 1 слева направо, следует рассматривать систему

—права налево свойство 1 фактически даЄт возможность представить число а в виде корн€ п Ц ой степени. Ќапример, число 2 представимо как а число -2 как .

¬ общем виде, если п Ц чЄтное число, то

ќтметим, что свойство (1) используетс€ при внесении множител€ под знак корн€.

ясно, что если п Ц нечЄтное число, то изменени€ области определени€ при использовании свойства 1 не происходит.

ѕроиллюстрируем применение свойства (1) в процессе решени€ уравнений.

ѕример 1. –ешить уравнение

¬оспользовавшись свойством 1, заменим данное уравнение равносильной ему системой

–ешим уравнение системы. ¬ведЄм замену тогда ”равнение примет вид ѕолученное уравнение имеет корни 1 или 4. —ледовательно, ѕервое уравнение имеет корень 3, а второе -

–ассмотрим решение неравенства системы.

.

 

Ќаконец, решим систему:

 

 

ќтвет:

ѕример 2. –ешить уравнение

”становим область определени€ данного уравнени€. ќна задаЄтс€ неравенством реша€ которое получим

 

.

ѕредставим в области определени€ выражение х Ц 3 в виде квадратного корн€:

ƒанное уравнение равносильно совокупности двух систем

 

 

 


ƒалее используем свойство 5:

 

”читыва€, что , и примен€€ свойство 2, получим

(1)

(2)

 

–ешим уравнение системы (1), введ€ замену ќно примет вид ќтсюда Ќеравенству

–еша€ уравнение второй системы аналогично, получим t = 7 или t =-4. “огда Ќеравенству системы удовлетвор€ет корень

ќтвет:

—войство 2: при любом значении а

–ассмотрим свойство 2 на примере выражени€ . ƒанный арифметический (неотрицательный) корень определЄн при любом значении а. ≈сли записать, что , то допустимые значени€ а в правой части равенства по определению арифметического корн€ могут быть только неотрицательными (), то есть происходит сужение области допустимых значений переменной а. —ледовательно, необходимо рассмотреть значени€ данного выражени€ и дл€ отрицательных значений а:если “ак как рассмотренные равенства совпадают с определение модул€ числа, то второе свойство может быть записано в виде

Ќе рассматрива€ эти два случа€, мы ограничиваем область допустимых значений переменной а, что в процессе решени€ уравнений может привести к потере корней.

ѕриведЄм примеры использовани€ свойства 2 в процессе решени€ уравнений.

ѕример 3. –ешить уравнение

¬ведЄм замену ƒанное уравнение примет вид

ƒалее ѕо свойству 2 полученное уравнение равносильно уравнению –ешим его методом интервалов.

 

“аким образом, . “огда , 3 £ х £8.

ќтвет: [3;8]

ѕример 4. –ешить уравнение

–ешение:

”читыва€ свойство ограниченности функции косинус значени€ми -1 и 1, воспользуемс€ второй строчкой в записи свойства 2. ѕолучим

,

ќтвет:

ѕример 5. –ешить уравнение

»спользу€ свойство 2, выполним тождественное преобразование, не мен€ющее области определени€ данного уравнени€. ѕолучим уравнение , равносильное данному. “ак как в левой части данного уравнени€ записана сумма арифметических корней, то выражение в правой части уравнени€ должно удовлетвор€ть неравенству 14-7 х ³ 0. “огда, раскрыва€ модуль, придЄм к уравнению . ≈го корень

ќтвет:

—войство 3:

–ассмотрим равенство при чЄтных значени€х п (n=2k, kÎN). ƒопустимые значени€ переменных в левой части формулы удовлетвор€ют неравенству ав ≥ 0, то есть принимают значени€ одного знака. ƒопустимые значени€ переменных а и в в правой части формулы удовлетвор€ют неравенствам а ≥ 0 и в ≥ 0. “аким образом, применение свойства (2) в процессе решени€ уравнени€ Ђслева направої приводит к сужению области определени€ уравнени€ и, возможно, к потере корней, а Ђсправа налевої к расширению области определени€ уравнени€ и, возможно, к по€влению посторонних корней.

¬ св€зи с выше сказанным, свойство 2 используетс€ в виде

(2.1.)

¬ этом случае область допустимых значений переменных не измен€етс€. »ногда свойство (2) используетс€ в виде (2.2.) ќднако его применение в такой форме не сохран€ет область определени€ уравнени€, а расшир€ет еЄ. ѕроиллюстрируем сказанное на примере.

ѕример 6. –ешить уравнение

”становим область определени€ данного уравнени€. —оставим и решим систему неравенств.

 

ќбласть определени€ данного уравнени€ D = (-¥; -2] È {1} È [14;+¥).

ѕри х Î D данное уравнение равносильно уравнению

(*)

¬оспользуемс€ свойством (2). ѕолучим

¬ыполненное преобразование сузило область определени€ данного уравнени€ до значений х Î [14;+¥), что может привести к потере корней. ѕоэтому необходимо рассмотреть два случа€.

1) ѕри х Î [14;+¥) каждый множитель в подкоренных выражени€х уравнени€ (*) положителен.¬оспользуемс€ первой строчкой в записи свойства 2.

ќчевидно, что полученна€ система решений не имеет.

2) ѕри х Î (-¥; -2] каждый множитель в подкоренных выражени€х уравнени€ (*) отрицателен. ¬оспользуемс€ второй строчкой в записи свойства 2.

х = - 4 Ц решение системы (корень уравнени€).

ќчевидно, что х = 1 также €вл€етс€ корнем данного уравнени€.

ќтвет: -4; 1.

ѕрименение свойства 2 в виде

можно условно назвать Ђпо двум дорожкамї.

«амечание. „тобы преобразование корней не сузило область определени€ данного уравнени€ и не привело к потере корней, можно использовать свойство 2 в форме “огда уравнение запишетс€ в виде

ƒалее, с учЄтом области определени€, уравнение сведЄтс€ к рассмотрению двух случаев, приведЄнных выше. –аскрыва€ модуль при х Î [14;+¥), получим уравнение ,

а при при х Î (-¥;-2] - уравнение

ѕример 7. –ешить систему уравнений

–ешение данной системы предполагает вынесение за скобки общих множителей. ¬ первом уравнении ¬ыполнение такого преобразовани€ основано на использовании свойства 2 в виде

(2.1.)

«аметим сразу, что х = 0, у = 0 не €вл€ютс€ решением системы.

≈сли x >0, y >0, то получим

≈сли x <0, y <0, то получим

–ешим первую систему.

¬ результате делени€ первого уравнени€ на второе уравнение системы получим которое не имеет решений.

–ешим вторую систему.

≈сли x <0, y <0, то

¬ результате делени€ первого уравнени€ на второе уравнение системы получим .

—оставим равносильную систему:

”читыва€, что x <0, y <0, получим х = - 2, у = - 8. ќтвет: (- 2;- 8)

—войство 4:

јналогичные рассуждени€ при чЄтных значени€х п привод€т к необходимости представить свойство 4 в двух формах:

4.1. 4.2.

ѕриведЄм пример уравнени€, при решении которого используетс€ свойство 4. –ассмотрим три способа его решени€.

ѕример 8. –ешить уравнение

ѕервый способ.

”становим область определени€ данного уравнени€ D, решив неравенство D = (- ¥; - 1] È (1;+¥).

 

ясно, что использу€ свойства 2 и 3 дл€ представлени€ данного уравнени€ в виде мы сужаем область его определени€ до промежутка (1;+¥). ¬оспользуемс€ приЄмом Ђпо двум дорожкамї. “огда данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или

–еша€ первую систему, получим “ак как уравнение системы не имеет решений (оно сведЄтс€ к уравнению х Ц 1 = х + 5), то и система не имеет решений.

ќчевидно, что х = -1 €вл€етс€ решением второй системы, поэтому еЄ можно записать в виде

 

–ешим уравнение системы: - х + 1 = х +5, х = - 2.

- 2 Ц решение системы. ќтвет: -1; - 2.

¬торой способ.

¬оспользуемс€ формулой 3.2.

ѕолучим ќбласть определени€ данного

уравнени€ расширилась, следовательно, ожидаемы посторонние решени€. ќчевидно, что -1 Ц корень как полученного, так и данного уравнени€. –ешим уравнение

ѕолучаем х = -2 Ц решение системы. ѕроверкой убеждаемс€, что -2 Ц корень данного уравнени€.

“ретий способ.

¬ыполним преобразование, состо€щее в приведении знаменател€ к рациональному виду, получим «амечательна€ особенность полученного уравнени€ состоит в том, что оно имеет такую же область определени€ как и данное. ≈го решение сведЄтс€ к совокупности двух уравнений или ѕервое уравнение имеет единственный корень, принадлежащий области определени€, -1, а второе решено выше. ≈го корень - 2.

ќтвет: -2; - 1.

–ассмотрим ещЄ один пример.

ѕример 9. –ешить уравнение

ќбласть определени€: D = (- ¥; 0) È [2;+¥).

 

 

ќтметим, что возможно решение каждым из трЄх рассмотренных выше способов. ¬оспользуемс€ третьим способом, как наиболее простым.

¬ области определени€ данное уравнение равносильно уравнению

»сход€ из определени€ модул€, получим совокупность двух систем:

1)

”равнение системы посредством замены сведЄтс€ к квадратному , неотрицательным решением которого €вл€етс€ “огда решением системы будет число

 

2)

–еша€ уравнение аналогично, получим решение системы

»так, данное уравнение имеет решени€

ќтвет: ;

—войство 5:

ѕрименение свойства 5 при четных значени€х n и m может привести к расширению или сужению области определени€ уравнени€ и, как следствие, к потере или по€влению посторонних корней. “ак, область допустимых значений переменной а в выражении есть множество всех действительных чисел, а в выражении множество неотрицательных чисел. ѕоэтому дл€ чЄтных значений показателей корн€ и степениданное свойство целесообразно записать в виде

ѕроиллюстрируем на примере вли€ние свойства 5 на процесс решени€ уравнений.

ѕример 10. –ешить уравнение

ѕредставим данное уравнение в виде ќбласть определени€ данного уравнени€ Ц множество всех действительных чисел R. ѕримен€€ свойство 5 в форме, не мен€ющей области определени€ уравнени€, получим, ¬едение замены сведЄт данное уравнение к квадратному , имеющему корни -1 и 2. “огда , ѕолучаем корни уравнени€: 17, -15.

ќтвет: -15; 17.

—войство 6:

ѕроанализируем вли€ние свойства 6 на область определени€ уравнени€.

«начени€ n «начени€ k ƒопустимые значени€ а в левой части равенства ƒопустимые значени€ а в левой части равенства
„Єтное „Єтное Ќеотрицательные Ќеотрицательные
„Єтное ЌечЄтное Ќеотрицательные Ќеотрицательные
ЌечЄтное „Єтное Ќеотрицательные Ќеотрицательные
ЌечЄтное ЌечЄтное Ћюбые Ћюбые

 

“аким образом, использование свойства 6 область допустимых значений переменной не мен€ет, но необходимо в первых трЄх случа€х еЄ учитывать.

—войство 7:

–ассмотрим применение свойства 7 на примерах выражений . —войство 7 позвол€ет разделить показатель степени и показатель корн€ на одно и то же число. “огда получим ¬ первом равенстве лева€ и права€ части имеют разные области определени€. „тобы спасти ситуацию, перепишем его в виде ¬о втором равенстве области определени€ совпадают, однако, лева€ часть принимает при неотрицательные значени€, а права€ как неотрицательные (при ), так и отрицательные значени€ . ѕоэтому

¬ общем виде: ,

ѕриведЄм примеры использовани€ свойства 7 в процессе решени€ уравнений.

ѕример 11. –ешить систему уравнений

¬ соответствии со свойством 7 преобразуем выражение .

= =

ƒанна€ система равносильна совокупности двух систем

 

или

¬вод€ замену в первом уравнении, получим . –ешением первой систему будет пара чисел (64; 1).

–еша€ аналогично вторую систему, получим ещЄ одну пару чисел, удовлетвор€ющих системе (-1; -64).

ќтвет: (64; 1), (-1; -64).

ѕример 12. –ешить уравнение

ѕреобразу€ левую часть данного уравнени€, получим ѕо свойству 7 данное уравнение равносильно уравнению ¬ведЄм замену

ƒанное уравнение сведЄтс€ к системе

–еша€ получим

“огда

ќтвет: - 7; 1.

ѕример 13. –ешить уравнение ѕреобразуем “ак как в левой части уравнени€ содержитс€ сумма двух арифметических корней, то выражение 2 - х удовлетвор€ет условию , то есть “огда

–ассмотрим выражение “ак как , то

“огда . Ќаконец, представим, использу€ свойство 1, . ƒанное уравнение равносильно системе

ќчевидно, что х= 2 Ц корень уравнени€ и решение системы. ѕерепишем систему в виде

–ешим уравнение системы , .

-2 Ц решение системы.

ќтвет: -2; 2.

3.2.  омплекс заданий

 

–ешить уравнение. ќтвет.

є 1.

є 2.

є 3.

є 4.

є 5. -4; 6.

є 6. [0;3].

є 7. 4.

є 8. Ќет решений.

є 9. 1,5.

є 10. [3;+¥).

є 11. 1.

є 12. 0,5.

є 13. 4.

є 14.

є 15.

є 16.

є 17.

є 18.

є 19.

є 20.

є 21.

є 22.

є 23. -1; 4.

є 24. -3; 11.

є 25. -5; 2.

є 26.

є 27.

є 28. .

є 29. 2.

є 30. 2.

є 31. .

є32. –ешить систему уравнений

ѕриведЄм таблицу использовани€ свойств корней при решении уравнений составленного комплекса.

Ќомера свойств            
Ќомера заданий   1 - 4   5 - 17   18 - 22   23 - 28     30 - 32

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1197 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2216 - | 2155 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.174 с.