Преобразования арифметических корней

3.1. Анализ преобразований

Преобразования арифметических корней осуществляются посредством приведенных ниже основных свойств.

1. Если

2. При любом значении а

3. Если

4. Если

5. Если

6. Если

7. Если

Проанализируем перечисленные свойства с позиции их влияния на область допустимых значений переменных а и в,если не ограничиваться рассмотрением их неотрицательных значений значений.

Свойство 1:

Рассмотрим чётные значения показателя корня п =2 k, . Тогда область определения левой части равенства есть множество неотрицательных действительных чисел. В правой части равенства допустимыми являются любые значения а. Следовательно, использование свойства 1 слева направо приводит к расширению области определения, а справа налево – к её сужению, что при решении уравнений может способствовать приобретению посторонних корней или их потере.

Чтобы не происходило изменения области определения при использовании свойства 1 слева направо, следует рассматривать систему

Справа налево свойство 1 фактически даёт возможность представить число а в виде корня п – ой степени. Например, число 2 представимо как а число -2 как .

В общем виде, если п – чётное число, то

Отметим, что свойство (1) используется при внесении множителя под знак корня.

Ясно, что если п – нечётное число, то изменения области определения при использовании свойства 1 не происходит.

Проиллюстрируем применение свойства (1) в процессе решения уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Воспользовавшись свойством 1, заменим данное уравнение равносильной ему системой

Решим уравнение системы. Введём замену тогда Уравнение примет вид Полученное уравнение имеет корни 1 или 4. Следовательно, Первое уравнение имеет корень 3, а второе -

Рассмотрим решение неравенства системы.

Наконец, решим систему:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Установим область определения данного уравнения. Она задаётся неравенством решая которое получим

Представим в области определения выражение х – 3 в виде квадратного корня:

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

Далее используем свойство 5:

Учитывая, что , и применяя свойство 2, получим

(1)

(2)

Решим уравнение системы (1), введя замену Оно примет вид Отсюда Неравенству

Решая уравнение второй системы аналогично, получим t = 7 или t =-4. Тогда Неравенству системы удовлетворяет корень

Ответ:

Свойство 2: при любом значении а

Рассмотрим свойство 2 на примере выражения . Данный арифметический (неотрицательный) корень определён при любом значении а. Если записать, что , то допустимые значения а в правой части равенства по определению арифметического корня могут быть только неотрицательными (), то есть происходит сужение области допустимых значений переменной а. Следовательно, необходимо рассмотреть значения данного выражения и для отрицательных значений а:если Так как рассмотренные равенства совпадают с определение модуля числа, то второе свойство может быть записано в виде

Не рассматривая эти два случая, мы ограничиваем область допустимых значений переменной а, что в процессе решения уравнений может привести к потере корней.

Приведём примеры использования свойства 2 в процессе решения уравнений.

Пример 3. Решить уравнение

Введём замену Данное уравнение примет вид

Далее По свойству 2 полученное уравнение равносильно уравнению Решим его методом интервалов.

Таким образом, . Тогда , 3 £ х £8.

Ответ: [3;8]

Пример 4. Решить уравнение

Решение:

Учитывая свойство ограниченности функции косинус значениями -1 и 1, воспользуемся второй строчкой в записи свойства 2. Получим

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Используя свойство 2, выполним тождественное преобразование, не меняющее области определения данного уравнения. Получим уравнение , равносильное данному. Так как в левой части данного уравнения записана сумма арифметических корней, то выражение в правой части уравнения должно удовлетворять неравенству 14-7 ^х ³ 0. Тогда, раскрывая модуль, придём к уравнению . Его корень

Ответ:

Свойство 3:

Рассмотрим равенство при чётных значениях п (n=2k, kÎN). Допустимые значения переменных в левой части формулы удовлетворяют неравенству ав ≥ 0, то есть принимают значения одного знака. Допустимые значения переменных а и в в правой части формулы удовлетворяют неравенствам а ≥ 0 и в ≥ 0. Таким образом, применение свойства (2) в процессе решения уравнения «слева направо» приводит к сужению области определения уравнения и, возможно, к потере корней, а «справа налево» к расширению области определения уравнения и, возможно, к появлению посторонних корней.

В связи с выше сказанным, свойство 2 используется в виде

(2.1.)

В этом случае область допустимых значений переменных не изменяется. Иногда свойство (2) используется в виде (2.2.) Однако его применение в такой форме не сохраняет область определения уравнения, а расширяет её. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример 6. Решить уравнение

Установим область определения данного уравнения. Составим и решим систему неравенств.

Область определения данного уравнения D = (-¥; -2] È {1} È [14;+¥).

При х Î D данное уравнение равносильно уравнению

(*)

Воспользуемся свойством (2). Получим

Выполненное преобразование сузило область определения данного уравнения до значений х Î [14;+¥), что может привести к потере корней. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

1) При х Î [14;+¥) каждый множитель в подкоренных выражениях уравнения (*) положителен.Воспользуемся первой строчкой в записи свойства 2.

Очевидно, что полученная система решений не имеет.

2) При х Î (-¥; -2] каждый множитель в подкоренных выражениях уравнения (*) отрицателен. Воспользуемся второй строчкой в записи свойства 2.

х = - 4 – решение системы (корень уравнения).

Очевидно, что х = 1 также является корнем данного уравнения.

Ответ: -4; 1.

Применение свойства 2 в виде

можно условно назвать «по двум дорожкам».

Замечание. Чтобы преобразование корней не сузило область определения данного уравнения и не привело к потере корней, можно использовать свойство 2 в форме Тогда уравнение запишется в виде

Далее, с учётом области определения, уравнение сведётся к рассмотрению двух случаев, приведённых выше. Раскрывая модуль при х Î [14;+¥), получим уравнение ,

а при при х Î (-¥;-2] - уравнение

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение данной системы предполагает вынесение за скобки общих множителей. В первом уравнении Выполнение такого преобразования основано на использовании свойства 2 в виде

(2.1.)

Заметим сразу, что х = 0, у = 0 не являются решением системы.

Если x >0, y >0, то получим

Если x <0, y <0, то получим

Решим первую систему.

В результате деления первого уравнения на второе уравнение системы получим которое не имеет решений.

Решим вторую систему.

Если x <0, y <0, то

В результате деления первого уравнения на второе уравнение системы получим .

Составим равносильную систему:

Учитывая, что x <0, y <0, получим х = - 2, у = - 8. Ответ: (- 2;- 8)

Свойство 4:

Аналогичные рассуждения при чётных значениях п приводят к необходимости представить свойство 4 в двух формах:

4.1. 4.2.

Приведём пример уравнения, при решении которого используется свойство 4. Рассмотрим три способа его решения.

Пример 8. Решить уравнение

Первый способ.

Установим область определения данного уравнения D, решив неравенство D = (- ¥; - 1] È (1;+¥).

Ясно, что используя свойства 2 и 3 для представления данного уравнения в виде мы сужаем область его определения до промежутка (1;+¥). Воспользуемся приёмом «по двум дорожкам». Тогда данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

или

Решая первую систему, получим Так как уравнение системы не имеет решений (оно сведётся к уравнению х – 1 = х + 5), то и система не имеет решений.

Очевидно, что х = -1 является решением второй системы, поэтому её можно записать в виде

Решим уравнение системы: - х + 1 = х +5, х = - 2.

- 2 – решение системы. Ответ: -1; - 2.

Второй способ.

Воспользуемся формулой 3.2.

Получим Область определения данного

уравнения расширилась, следовательно, ожидаемы посторонние решения. Очевидно, что -1 – корень как полученного, так и данного уравнения. Решим уравнение

Получаем х = -2 – решение системы. Проверкой убеждаемся, что -2 – корень данного уравнения.

Третий способ.

Выполним преобразование, состоящее в приведении знаменателя к рациональному виду, получим Замечательная особенность полученного уравнения состоит в том, что оно имеет такую же область определения как и данное. Его решение сведётся к совокупности двух уравнений или Первое уравнение имеет единственный корень, принадлежащий области определения, -1, а второе решено выше. Его корень - 2.

Ответ: -2; - 1.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример 9. Решить уравнение

Область определения: D = (- ¥; 0) È [2;+¥).

Отметим, что возможно решение каждым из трёх рассмотренных выше способов. Воспользуемся третьим способом, как наиболее простым.

В области определения данное уравнение равносильно уравнению

Исходя из определения модуля, получим совокупность двух систем:

Уравнение системы посредством замены сведётся к квадратному , неотрицательным решением которого является Тогда решением системы будет число

Решая уравнение аналогично, получим решение системы

Итак, данное уравнение имеет решения

Ответ: ;

Свойство 5:

Применение свойства 5 при четных значениях n и m может привести к расширению или сужению области определения уравнения и, как следствие, к потере или появлению посторонних корней. Так, область допустимых значений переменной а в выражении есть множество всех действительных чисел, а в выражении множество неотрицательных чисел. Поэтому для чётных значений показателей корня и степениданное свойство целесообразно записать в виде

Проиллюстрируем на примере влияние свойства 5 на процесс решения уравнений.

Пример 10. Решить уравнение

Представим данное уравнение в виде Область определения данного уравнения – множество всех действительных чисел R. Применяя свойство 5 в форме, не меняющей области определения уравнения, получим, Ведение замены сведёт данное уравнение к квадратному , имеющему корни -1 и 2. Тогда , Получаем корни уравнения: 17, -15.

Ответ: -15; 17.

Свойство 6:

Проанализируем влияние свойства 6 на область определения уравнения.

Значения n	Значения k	Допустимые значения а в левой части равенства	Допустимые значения а в левой части равенства
Чётное	Чётное	Неотрицательные	Неотрицательные
Чётное	Нечётное	Неотрицательные	Неотрицательные
Нечётное	Чётное	Неотрицательные	Неотрицательные
Нечётное	Нечётное	Любые	Любые

Таким образом, использование свойства 6 область допустимых значений переменной не меняет, но необходимо в первых трёх случаях её учитывать.

Свойство 7:

Рассмотрим применение свойства 7 на примерах выражений . Свойство 7 позволяет разделить показатель степени и показатель корня на одно и то же число. Тогда получим В первом равенстве левая и правая части имеют разные области определения. Чтобы спасти ситуацию, перепишем его в виде Во втором равенстве области определения совпадают, однако, левая часть принимает при неотрицательные значения, а правая как неотрицательные (при ), так и отрицательные значения . Поэтому

В общем виде: ,

Приведём примеры использования свойства 7 в процессе решения уравнений.

Пример 11. Решить систему уравнений

В соответствии со свойством 7 преобразуем выражение .

= =

Данная система равносильна совокупности двух систем

или

Вводя замену в первом уравнении, получим . Решением первой систему будет пара чисел (64; 1).

Решая аналогично вторую систему, получим ещё одну пару чисел, удовлетворяющих системе (-1; -64).

Ответ: (64; 1), (-1; -64).

Пример 12. Решить уравнение

Преобразуя левую часть данного уравнения, получим По свойству 7 данное уравнение равносильно уравнению Введём замену

Данное уравнение сведётся к системе

Решая получим

Тогда

Ответ: - 7; 1.

Пример 13. Решить уравнение Преобразуем Так как в левой части уравнения содержится сумма двух арифметических корней, то выражение 2 - х удовлетворяет условию , то есть Тогда