Свойство 5: (в частности, , )

Проблемы с применением формулы перехода к новому основанию могут возникнуть, если переменная х, относительно которой нужно решить уравнение, стоит в основании логарифма. Приведём пример такой ситуации.

Пример8. Решить уравнение

Область определения исходного уравнения – это все положительные числа, кроме Приводя каждый логарифм к основанию х, получим уравнение . Его область определения не содержит 1, которая является корнем данного уравнения. Такая ситуация будет возникать в случае, если приводится к основанию х. Значение х= 1 принадлежит области допустимых значений переменной х в правой части равенства и не принадлежит ей в левой части равенства. Следовательно, число 1 может быть потерянным или посторонним корнем уравнения при использовании формулы перехода к новому основанию логарифма.

Аналогичная ситуация возникает, в частности, и при применении формулы . Запишем её в виде . Число 1 принадлежит области допустимых значений в левой части равенства и не принадлежит ей в правой части, что может привести к потере корня, равного 1, или к приобретению его в качестве постороннего. Приведём пример.

Пример 9. Решить уравнение

Область определения данного уравнения D=(0;1)È(1;+¥). Преобразуем правую часть уравнения: В результате преобразования получим уравнение , область определения которого расширилась на 1. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что 1 является корнем полученного уравнения, однако, для данного уравнения 1 – посторонний корень.

Таким образом, при применении формулы слева направо полезно переходить к совокупности а справа налево – к системе

Применение формулы , если переменная х стоит в основании логарифма, а k – чётное число () также приводит к изменению области определения уравнения. Она принимает вид (*). В левой части равенства значения х любые, кроме нуля, а в правой части положительны и отличны от 1. Поэтому формулу (*) слева направо во избежание потери корней целесообразно использовать в виде , а при её применении справа налево следует отсеивать возможные посторонние корни. Рассмотрим примеры.