Метод простої ітерації

Метод простої ітерації застосовується до розв’язування нелінійного рівняння виду

. (7)

Перейти від рівняння (1) до рівняння(7) можна багатьма способами, наприклад, вибравши

, (8)

де - довільна знакостала неперервна функція.

Вибравши нульове наближення x ₀, наступні наближення знаходяться за формулою

. (9)

Наведемо достатні умови збіжності методу простої ітерації.

Теорема 1. Нехай для вибраного початкового наближення x ₀ на проміжку

(10)

функція j(x) задовольняє умові Ліпшиця

(11)

де 0 <q< 1, і виконується нерівність

. (12)

Тоді рівняння (7) має на проміжку S єдиний корінь , до якого збігається послідовність (9), причому швидкість збіжності визначається нерівністю

. (13)

Зауваження: якщо функція j(x) має на проміжку S неперервну похідну , яка задовольняє умові

, (14)

то функція j(x) буде задовольняти умові (11) теореми 1.

З (13) можна отримати оцінку кількості ітерацій. які потрібно провести для знаходження розв’язку задачі (7) з наперед заданою точністю e:

. (15)

Наведемо ще одну оцінку. що характеризує збіжність методу простої ітерації:

. (16)