Лекции.Орг


Поиск:




II Розв’язування нелінійних рівнянь




Постановка задачі:

Розглянемо задачу знаходження коренів рівняння

, (1)

де - задана функція дійсного змінного.

Розв’язування даної задачі можна розкласти на декілька етапів:

а) досліджена розташування коренів (в загальному випадку на комплексній площині) та їх кратність;

б) відділення коренів, тобто виділення областей, що містять тільки один корінь;

в) обчислення кореня з заданою точністю за допомогою одного з ітераційних алгоритмів.

Далі розглядаються ітераційні процеси, що дають можливість побудувати числову послідовність xn, яка збігається до шуканого кореня рівняння (1).

1. Метод ділення проміжку навпіл (метод дихотомії)

Нехай і відомо, що рівняння (1) має єдиний корінь . Покладемо a 0 =a, b 0 =b, x 0 = (a 0 +b 0)/2. Якщо , то . Якщо , то покладемо

(2)

 

(3)

(4)

і обчислимо . Якщо , то ітераційний процес зупинимо і будемо вважати, що . Якщо , то повторюємо розрахунки за формулами (2)-(4).

З формул (2), (3) видно, що і . Тому , а отже шуканий корінь знаходиться на проміжку . При цьому має місце оцінка збіжності

. (5)

Звідси випливає, що кількість ітерацій. які необхідно провести для знаходження наближеного кореня рівняння (1) з заданою точністю e задовольняє співвідношенню

. (6)

де [ c ] - ціла частина числа c.

Серед переваг даного методу слід відзначити простоту реалізації та надійність. Послідовність { xn } збігається до кореня для довільних неперервних функцій f (x). До недоліків можна віднести невисоку швидкість збіжності методу та неможливість безпосереднього узагальнення систем нелінійних рівнянь.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 517 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Логика может привести Вас от пункта А к пункту Б, а воображение — куда угодно © Альберт Эйнштейн
==> читать все изречения...

788 - | 787 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.01 с.