Спосіб
Лекции.Орг

Поиск:


Спосіб




4a2x2+ 4abx+ 4ac=0;

(2ax+b)2-(b2-4ac)=0;

(2ax+b)2-( )2=0.

На перших етапах формування вмінь та навичок розв’язівати квадратні рівняння доцільно виконуючи записи.

Наприклад.

2-х-3=0;

а=2; b=1; c=-3;

D=(-1)2-4 2(-3)=25;

x1= = = ;

x2= =- =-1.

Звертається увага на дослідження коренів квадратного рівняння:

1) D 0;

2) D=0;

3) D 0.

Дослідити квадратне рівняння ax2+bx+c=0 означає не розв’язати його, а встановити:

1. якій числовій множині належать його корені;

2. якщо корені дійсні, вияснити їх кількість та знаки;

3. якщо знаки різні, визначити, який корінь має більшу абсолютну величину.

D a b c x1 x2 Примітка
+ + - + + +  
+ + + + - -  
+ + + - - +
+ + - - - +
+ - + + + x1=x2
+ + + - - x1=x2
- + + + Дійснич коренів не має.
- + - +

x2+ x+ =0

1. Якщо 0, то х1х2 0, х1 і х2 одного знаку:

а) - 0, х1 + х2 0 х1 0 і х2 0;

б) - 0, х1 + х2 0 х1 0 і х2 0;

2. Якщо 0, то х1х 0, х1 і х2 - різні знаки:

а) - 0, х1 + х2 0, ;

б) - 0, х1 + х2 0 ;

3. Якщо b=0, 0, то = .

Для квадратних рівнянь мають місце такі твердження:

1. Якщо у даному квадратному рівнянні поміняти коефіцієнт а і с, то одержимо рівняння, корені якого обернені даним

ax2+bx+c=0; x1: x2

cx2+bx+a=0; і

c + +a=c ax2+bx+c=0.

2. Якщо у квадратному рівнянні ax2+bx+c=0 поміняти знак біля коефіцієнту b, то одержимо рівняння, корені якого протилежні кореням даного;

3. Якщо у квадратному рівнянні а і с мають різні знаки, то рівняння має дійсні корені;

4. Якщо а 0 і D=0, то ліва частина квадратного рівняння є повний квадрат;

5. Якщо a+b+c=0, то х1=1, х2= ;

6. Якщо a-b+c=0, то х1=-1, х2=- .

Важливим моментом при вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта (пряма і обернена). Складність засвоєння теореми Вієта зв’язана з декількома обставинами. Слід розуміти різницю між прямою і оберненою теоремами. Школярі часто роблять помилку посилаючись на ту, чи іншу теорему Вієта. Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбором, треба користуватись оберненою теоремою, а не прямою, як часто роблять.

Після вивчення теореми Вієта обов’язково розв’язуються задачі такого змісту:

1. знаходження знаків кількох рівняння;

2. знаходження знаків коренів рівняння;

3. складання квадратного рівняння за даними коренями;

4. знаходження коефіцієнта квадратного рівняння за відповідними даними.

Деякі прийоми усного розв’язування квадратних рівнянь з раціональним коренем:

1) ax2+bx+c:

а) відкинення коефіцієнта а;

б) помножити вільний член на а;

в) взяти два числа, добуток яких дорівнює ас, а сума дорівнює b;

г) кожне із знайдених чисел поділити на а;

2) x2+px+q, q=m2h, p=md:

а) знаходження множників m і m2, на які діляться p і q на m і m2;

б) знаходяться частки к і l від дільників p іq на m і m2;

в) шукають два числа , добуток яких дорівнює l, а сума к з протилежним знаком;

г) знаходження числа множеного на m.

Теорема Вієта (пряма).Якщо квадратне рівняння має дійсні корені, то х12=-

х1х2= .

Теорема Вієта (обернена).Якщо числа m і n такі, що їх сума дорівнює –р, а добуток дорівнює q, то ці числа є коренями квадратного рівняння x2+px+q=0.

Доведення. m+n=-p

mn=q;

x2-(m+n)x+mn=0;

x2-mx=nx+mx=0 x(x-m)n(x-m)=0 (x-m)(x-n)=0.

Нехай х12 – корені рівняння x2+px+q і Sn=x1n+x2n, (n 2, n’N), тоді правильна рекурентна формула

Sn+1=-pSn-qSn-1, S1=-p, S2=p2-2q.

 

Доведення.х12 – корені рівняння, тому

х12+px1+q=0/ х1n-1;

х22+px2+q=0/ х2n-1;

x1n+1+px1n+qx1n-1=0

x2n+1+px2n+qx2n-1=0;

x1n+1+x2n+1+p(x1n+x2n)+q(x1n-1+x2n-1)=0.

Теорему доведено.

Приклад.

2-5х+1

х12= ;

х1х2= ;

х1323= ( - )= .

 





Дата добавления: 2015-05-07; просмотров: 491 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.007 с.