Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Загальні теоретичні положення про рівняння




Лекція

Методика вивчення рівнянь у основній школі

Вступ

Рівняння і системи рівнянь пронизують весь курс шкільної математики. Найпростіші рівняння учні розв’язують ще у початковій школі. Але букву х називають не змінною, а невідомим числом.

Всі класи рівнянь та їх систем можна поділити на дві групи.

Перша група – раціональні рівняння та їх системи. Найбільш важливими класами у цій групі є:

1) лінійні рівняння з однією змінною;

2) лінійні рівняння з двома змінними;

3) системи лінійних рівнянь з двома змінними;

4) квадратні рівняння;

5) лінійні нерівності з однією змінною;

6) квадратні нерівності.

Друга група – ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння.

Перша група вивчається у 7-9 класах, а друга в 10-11 класах.

Послідовність вивчення різних класів рівнянь та їх систем різна у різних підручниках. Однак, кількість можливих варіантів для послідовності їх введення невелика, бо класи рівнянь перебувають у певній логічній залежності, яка впливає на порядок їх появи у шкільному курсі.

Спочатку вивчають рівняння, а потім їх системи. Таке роздільне вивчення проводиться до теорії квадратного тричлена, яка вивчається у 9-му класі.

1. Пропедевтика вивчення систематичного курсу рівнянь

Найпростіші рівняння та їх системи учні розв’язують ще у початковій школі.

У 5-му класі розкривається зміст таких понять, як рівняння (рівність, що містить невідоме число називається рівнянням; значення невідомого, при якому рівняння перетворюється у правильну числову рівність, називається розв’язком або коренем рівняння).

Розв’язати рівняння, означає знайти всі його корені. Рівняння розв’язується на основі залежностей між компонентами чотирьох арифметичних дій.

У 6-му класі учні розв’язують рівняння, яке містить змінну, як у лівій, так і правій частинах. Після вивчення розподільного закону множення значно розширюється круг задач, що розв’язуються за допомогою рівнянь.

В міру вивчення теоретичного матеріалу вводять нові види рівнянь та їх систем. Крім цього розширюється множина розв’язків рівнянь та їх систем, бо вивчаються від’ємні раціональні числа, розв’язуються найпростіші рівняння з модулями, рівняння, що містять дужки, вводиться поняття коефіцієнту та застосовуються поступово нові способи розв’язування рівнянь (за допомогою додавання до обох частин рівняння x+a=b числа, протилежного до а, перенесення доданків з однієї частини в другу, зведення подібних доданків, ділення обох частин на коефіцієнт при невідомому).

Наприклад:

2(х+3)=3(х-4);

2х+6=3х-12;

2х-3х=-12-6;

-х=-18;

х=18.

Коли учні зрозуміли що таке рівняння, можна вводити поняття розв’язку рівняння. Один з методичних прийомів є застосування таблиць:

 

 

х     -2
5х+4=3х 5+4=3 0+4=0 +4= -10+4=-6
Правильно ------- ------- ------- прав.
Неправильно непр. непр. непр. ------

Таблиці заповнюються у процесі евристичної бесіди.

Систематичне вивчення теорії про рівняння розпочинається у курсі алгебри 7-го класу.

У цілому розгляд теоретичного матеріалу про рівняння у 7-9 класах проводиться переважно на індуктивному рівні з використанням елементів дедукції.

Загальне поняття рівняння та його властивості вводяться індуктивно, але розгляд окремих видів рівнянь проводиться з використанням елементів дедуктивних міркувань.

Наприклад, поняття лінійного рівняння з однією змінною вводиться за означенням, у якому відправним пунктом є загальний вигляд лінійного рівняння.

В усіх класах формування поняття рівняння і вироблення навичок їх розв’язування проводиться на простих вправах, з метою, щоб технічне розв’язання не закривала суті питання.

У 8-му класі вивчаються квадратні рівняння, розв’язуються раціональні рівняння, дробово-раціональні рівняння, графічний спосіб розв’язування квадратних рівнянь.

У 9-му класі вивчаються рівняння і системи рівнянь, графічний розв’язок системи рівнянь, рівняння 3-го і 4-го степеня з однією змінною, які розв’язуються за допомогою розкладання на множники і введення допоміжної змінної. Вводиться поняття рівносильності рівнянь (якщо корені 1-го рівняння є корені 2-го, а корені 2-го є корені 1-го, то ці рівняння рівносильні).

 

Наприклад:

2х+3=8 2х+3+10=8+10

х=2,5, х=2,5.

 

Загальні теоретичні положення про рівняння

Систематичне вивчення теорії рівнянь розпочинається з 7-го класу.

Основна мета – систематизувати і узагальнити відомості про розв’язання рівнянь з однією змінною. Розширити поняття про рівняння, їх види та методи розв’язання.

У 7-му класі дається означення рівняння, вводяться основні поняття. Загальне поняття рівняння і його властивості вводяться індуктивно, а розгляд окремих видів рівнянь здійснюється з використанням елементів дедуктивних міркувань.

 

Клас Зміст матеріалу Основні поняття
  Загальні відомості про рівняння. Властивості рівнянь Рівняння, корінь (розв’язок) рівняння, розв’язати рівняння, ліва, права частини рівняння, рівносильність рівнянь.
Лінійні рівняння з однією змінною ax=b. Лінійні рівняння з двома змінними ax+by=c. Системи лінійних рівнянь з двома змінними. Графік лінійного рівняння,пара чисел розв’язку рівняння системи рівняння.
  Квадратні рівняння. Дробово-раціональні рівняння.  
  Біквадратне рівняння. Нелінійні системи рівнянь.  

 

Означення 1. Рівняння f(x)= (х) називається алгебраїчним, якщо f(x) і (х) – многочлени. Рівняння називається дробово-раціональним, якщо f(x) і (х) – раціональні функції, причому хоча б одна з них дробово-раціональна відносно змінної х.

Означення 2. Рівняння називається ірраціональним, якщо f(x) і (х) – елементи алгебраїчної функції і хоча б одна з них ірраціональна відносно змінної х.

Означення 3. Рівняння називається трансцендентним, якщо (x) і (х) – елементи функції і хоча б одна з них трансцендентна відносно змінної х.

Класифікація рівнянь

 
 

 

 


Розв’язати рівняння можна на різних теоретичних основах.

Є такі способи розв’язання рівнянь в основній школі:

1) на основі залежностей між компонентами та результатами дій;

2) за властивостями рівностей;

3) за теоремами про рівносильність рівнянь;

4) графічний спосіб.

У 8-му класі вивчаються рівняння із змінною у знаменнику. Розв’язувати їх можна двома способами:

1) зведення рівняння до виду =0, яке зводиться до системи

f(x)=0

g(x) 0;

2) зведення до виду = , яке зводиться до системи

f(x)=f1(x)

g(x) 0.

 

Означення 1. Рівняння Pn(x)=0, де Pn(x) – ціла раціональна функція n-го степеня, називається алгебраїчно раціональним рівнянням n-го степеня.

Наприклад. 2х+7=0, 3х2-5х+8=0, 5х3-4х2+2=0.

Раціональні рівняння поділяються на:

1. Лінійні рівняння – рівняння виду ax+b=0, де a і b – деякі числа, причому а 0. Його ще називають рівнянням першого степеня (бо має єдиний розв’язок х=- ). Якщо не має умови а 0, називається лінійним рівнянням, яке має більше розв’язків:

а) а 0, ax+b=0 х=- ;

б) а=0, b=0, ax+b=0 хєR;

в) а=0, b 0, ax+b=0 хє .

2. Квадратні рівняння – це рівняння виду ax2+bx+c=0, де a,b,c – деякі числа, причому а 0.

Розрізняють повні та неповні квадратні рівняння.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1155 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

80% успеха - это появиться в нужном месте в нужное время. © Вуди Аллен
==> читать все изречения...

2263 - | 2117 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.