Квадратні рівняння

Квадратні рівняння розглядаються у такій послідовності:

1) вводиться поняття квадратного рівняння за допомогою задачі практичного змісту;

2) дається означення квадратного рівняння;

3) розглядають окремі види квадратних рівнянь.

Задача. Довжина прямокутника більша від його ширини на 3 см., а площа дорівнює 10 см². Знайти розміри прямокутника?

х – ширина прямокутника;

(х+3) – довжина,

S=х(х+3);

х(х+3)=10 або х²+3х-10=0.

У цьому випадку потрібно розв’язати рівняння, у яких невідома величина у другому степені

Як бачимо, такі рівняння мають практичне значення. Найпростіші з них, а саме за площею квадрата знаходити його сторону, люди вміли розв’язувати ще в Стародавньому Єгипті.

Тому основна мета нашої роботи на уроці – навчитися розв’язувати такі рівняння. Їх називають квадратними.

Означення. Рівняння виду ax²+bx+c=0, де а 0, х-змінна, називається квадратним.

Після означення розглядаються окремі види квадратних рівнянь. Учні засвоївши означення квадратного рівняння загального виду, самостійно конструюють означення неповних квадратних рівнянь.

1. b=0; c=0; ax²=0;

2. b=0; c 0; ax²+c=0;

3. b 0; c=0; ax²+bx=0;

4. a 0; b 0; c 0; ax²+bx+c=0.

Корисно підкреслити на уроці відмінність, яка існує між поняттями “квадратне рівняння” і “рівняння другого степеня”.

2х²-3х+5=0 – квадратне рівняння,

2ху+3х+5=0 – рівняння другого степеня відносно змінних х і у,

2х²+ -3=0 – учні вважають квадратним рівнянням, бо воно містить х².

 

Класифікація квадратних рівнянь

 

Зведені

Незведені

Незведені

Зведені

 

Розв’язування квадратних рівнянь бажано починати з неповних: ах²=0; ах²+с=0; ax²+bx=0, а тоді ax²+bx+с=0.

Є такі способи розв’язування квадратних рівнянь:

1) графічний спосіб, з яким учні знайомляться у 9-му класі за підручником Бевза, а в 8-му класі за підручником Макаревича у=ах² і у=-bх+с.

Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій будуть коренями рівняння. Учні повинні розуміти, що залежно від взаємного розміщення параболи і прямої квадратне рівняння може мати корені, або не мати їх.

2) за допомогою виділення повного квадрата двочлена х²-5х+6=0; (х- ) ²- =0; (х- - )(х- + )=0;

3) за допомогою коренів квадратного рівняння, яка виводиться різними способами.