Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Розв’язання




 

Виконавши у рівняння ах-3 = b тотожні перетворення, дістанемо: ах = b+3.

1) якщо а≠0, то х = при будь – якому b;

2) якщо а =0, то при b= -3 рівняння набуває вигляду 0х=0, тобто коренями рівняння є всі числа;

3) якщо а=0 і b≠-3, дістанемо 0х = b +3 ≠0, така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

Відповідь. при а ≠0 і будь – якому b х = ; при а =0 і b = -3 корені рівняння – всі числа; при а=0 і b≠0 коренів немає.

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

(а-1)(а+1)х – а -1 =0 залежно від а.

Розв’язання.
Запишемо рівняння у вигляді: (а-1)(а+1)х = а+1.
Добуток (а-1)(а+1) дорівнює нулю при а =1 або

а = -1, тому розглянемо такі випадки:

1)при а = 1 рівняння набуває вигляду 0х = 2, яке коренів не має;

2)при а = -1 дістанемо рівняння 0х =0, корені якого є всі числа;

3)при | а| ≠1 (а-1)(а+1) ≠0, тому

х = .
Відповідь: при |а| ≠1 ; при а = -1 корені рівняння – всі числа; при а = 1 – коренів не має.

Приклад 3.Розв’язати рівняння:
(а+4)х – 2,5х = (а-2)(а+3) + 3,5х.
Розв’язання.
Перетворимо дане рівняння, скориставшись основними властивостями рівнянь:
(а+4)х – 2,5х -3,5х = (а-2)(а+3),
(а+4-2,5 -3,5)х = (а-2)(а+3), (а-2)х = (а-2)(а+3).
Якщо а ≠2, то рівняння має єдиний корінь

.
Якщо а = 2, то рівняння набуває вигляду =0, його коренями є всі числа.
Відповідь: при а≠2 х = а+3; при а =2 корені всі числа.

Приклад 4. Розв’язати рівняння:
7,5 х – 2ах –а2= 5,5х – 3ах -4.
Розв’язання.
Скориставшись властивостями рівнянь, виконаємо в ньому перетворення:
7,5х – 2ах – 5,5х +3ах = а2-4,
(а+2)х = а2 -4, (а+2)х = (а-2)(а+2).
Якщо а = - 2, то рівняння набуває вигляду

0х =0 і його коренями є всі числа.
Якщо а ≠ -2, то рівняння має єдиний корінь

х=
Відповідь: при а =-2 корені – всі числа; при а ≠2

х = а-2.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:
|ах-1| = |х+3|.

Рівність | ах-1| = |х+3|. Виконується, якщо:
1) ах-1 = х+3;
2)ах-1 = - (х+3).

Розглянемо кожний випадок окремо.
1) ах -1 = х+3, ах -х = 4, (а-1)х =4.

Якщо а =1, то рівняння набуває вигляду 0х=4. Рівняння коренів не має.

 

Якщо а ≠1, то х= .
2) ах -1 = - (х+3), ах-1 = -х-3, ах +х = -2, (а+1)х = -2.

Якщо а = -1, то рівняння набуває вигляду

0х = -2. рівняння коренів не має.

Якщо а ≠, то х= .
Відповідь: при |а| ≠1 х1= , х2= ; при а = -1

х = ; при а = 1 х = .

Приклад 6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Маємо 2(ах-1) = 3(5х-а), звідки
(2а-15)х = 2-3а.

Якщо = то рівняння має вигляд 0х = - . Це рівняння, а отже, і дане рівняння не мають розв’язків.

Якщо а ≠ то рівняння має єдиний корінь
х =

Визначимо при яких значеннях а знайдений корінь задовольняє рівняння, тобто знайдемо область визначення.

Область допустимих значень невідомого і параметрів, що входять до рівняння, визначається рівняннями:

5х-а ≠0 та ах -1 ≠0. При х = дістанемо
Звідси
10-15а -2а2+15а ≠0 та 2а-3а2-2а+15 ≠0, а≠
Отже, якщо а ≠ та а≠ , рівняння має єдиний корінь х =

Якщо а = рівняння не має коренів.

Приклад 7. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Область допустимих значень невідомого і параметрів х ≠0, х ≠ а.
Маємо а - х = bх, (b+1)х = а.

Якщо b = -1, а = 0, то рівняння а - х = bх, (b+1)х = а набирає вигляду 0х = 0. Це рівняння справджується для будь – яких значень х, що входять до області допустимих значень.

Якщо b = - 1, а ≠ 0, то рівняння набуває вигляду 0х = а. Коренів немає.

Якщо b ≠ - 1, то рівняння має єдиний розв’язок

х = .

Перевіримо, при яких значеннях параметрів а і b утворений корінь задовольняє рівняння.

Виходячи з умови, х ≠ 0 та а – х ≠0, Отже,
Звідси а ≠ 0 та b ≠ 0.

Отже, якщо b = -1, а =0, то рівняння має безліч коренів, тобто має смисл при будь – яких дійсних х, крім

х = 0, х =а.

Якщо b = – 1, а ≠0, то розв’язків немає.

Якщо х ≠ 0, а ≠ 0, b ≠ -1, то х = .

Приклад 8.Розв’язати рівняння 2m(m-2)х = m-2.
Тут контрольними будуть ті значення параметра, при яких коефіцієнт при х перетворюється в нуль, тобто m = 0 і m = 2. Отже, якщо m =0, m =2, то не можна ділити обидві частини рівняння на коефіцієнт при х, в той час як при значеннях параметра m ≠0, m ≠ 2 таке ділення можливе.

Звідси випливає, що доцільно розглянути рівняння 2m(m-2)х = m-2 для таких значень параметра:

1) m = 0; 2) m = 2; в)

1) якщо m = 0, то рівняння 2m(m-2)х = m-2. набуде вигляду 0х = - 2. Це рівняння не має коренів.

2) якщо m = 2, то рівняння 2m(m-2)х = m- 2. набуде вигляду 0х = 0. Коренем цього рівняння буде будь – яке дійсне число.

3)якщо m ≠ 0 і m ≠ 2, то з рівняння 2m(m-2)х = m-2.
дістанемо х =

Відповідь. Якщо m = 0, то коренів немає; якщо m =2, то коренем рівняння є будь – яке дійсне число; якщо то .

Приклад 9. Розв’язати рівняння відносно х.

Розв’язання.
ОДЗ:

після зведення дробів до спільного знаменника, перейдемо до лінійного рівняння відносно х.

ах + ах – х = 4а2 – 1, х(2а – 1) = 4а2 – 1.

Якщо а = , то рівняння набуває вигляду

0 х = 0 і має безліч коренів.

При а ≠ х = 2а + 1.
Враховуючи ОДЗ параметра, запишемо відповідь.
Відповідь. При а = х – будь – яке число; при

а ≠ , а ≠ 0; а≠ 1 х = 2а + 1; при а = 0, а = 1 коренів немає.

Приклад 10. Розв’язати рівняння

( 2 – 1) = + 1.
Розв’язання. При розв’язуванні цього рівняння достатньо розглянути такі випадки:

1) = 1; тоді рівняння матиме вигляд 0 =2 і воно не має розв’язків;

2) = -1; отримуємо 0 = 0 і, очевидно, - будь – яке;

3) 1; маємо = .
Відповідь. Якщо = - 1, то - будь – яке число; якщо

= 1, то розв’язку немає; якщо 1; маємо = .

Приклад 11. Розв’язати рівняння
Розв’язання. В даному випадку = - єдиний корінь. Зрозуміло, що умова ≠ 1 вимагає виконання умови ≠ 1.
Відповідь. Якщо ≠1, то = ; якщо =1, то рівняння розв’язку немає.

Приклад 12.Розв’язати рівняння
Розв’язання. Перейдемо до рівняння наслідку:
( + -1)( +1) – 3( +1) = 5 ;
2 + ( -3) - 4 -4 =0. звідси 1 =4, 2 = - -1. Для того, щоб знайдені значення були коренями вихідного рівняння, достатньо вимагати виконання умов: 1 ≠ 1 - , 2≠ -1,

1 ≠ -1, 2 ≠ 1 - . Виконання двох останніх умов очевидне.

Якщо 1 =1 - , тобто 4 = 1 - , то = -3. Тоді, якщо = -3,то значення 1 = 4 не є коренем даного рівняння. Тут важливо не зробити помилковий висновок, що при = - 3 взагалі коренів немає. Насправді для = -3 маємо 2 =2, і ніщо не заважає 2 =2 бути коренем вихідного рівняння.

Якщо 2 =-1, тобто - -1 = -1, то =0. Звідси якщо =0, то 2 – не корінь, а 1 – корінь даного рівняння.
Відповідь. Якщо = -3, то =2; якщо =0, то =4; якщо ≠0 і ≠ -3,

то =4 або = - -1.

Приклад 13. Розв’язати рівняння =1.
Розв’язання. На перший погляд, можна відразу дати відповідь: = Але якщо =0, то дане рівняння розв’язків не має.
Відповідь. Якщо =0, то рівняння розв’язків не має; якщо ≠ 0, то =

Приклад 14. Розв’язати рівняння| 2-1| + | ( -1) | = 0.
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
Маємо:

Якщо ≠0, то друге рівняння системи і сама система мають єдиний розв’язок: =1.

Якщо ж =0, то з другого рівняння отримуємо, що - будь – яке. Отже, в цьому випадку система має два розв’язки: =1 або = -1.
Відповідь. Якщо ≠0, то =1; якщо =0, то = 1.

Приклад 15.Розв’язати рівняння

( -1) =0
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
Звідси = - корінь вихідного рівняння для будь – якого , а =1 – корінь лише, якщо ≤1
Відповідь. Якщо 1, то = або =1; якщо =1, то =1; якщо 1, то = .

Приклад 16. При яких рівняння 2- +3 =0 має єдиний розв’язок?
Розв’язування. Перш за все звернемо увагу на поширену помилку: вважати вихідне рівняння квадратним. Насправді це рівняння степеня не вище другого. У зв’язку із цим, природно почати розв’язання, розглянувши випадок, коли =0. Отже, якщо =0, то очевидно, що дане рівняння має єдиний розв’язок.

Якщо ж ≠0, то ми маємо справу із квадратним рівняння. Його дискримінант 1 - 12 набуває значень, що дорівнюють нулю, якщо = .
Відповідь. =0 або = .

Приклад 17.При яких значеннях рівняння ( -2) 2 +(4 - 2 ) +3 =0.
Розв’язування. Зрозуміло, що потрібно починати з випадку, коли =2. Але якщо =2, то вихідне рівняння взагалі не має розв’язку.

Якщо ≠ 2, то дане рівняння – квадратне, і здавалося б, шукане значення параметра – це корені дискримінанта. Але дискримінант перетворюється в нуль, якщо = 2 або = 5. Оскільки ми встановили, що = 2 не підходить, то = 5.
Відповідь. = 5

Приклад 18.При яких значеннях рівняння ( + 3) 2 + (2 +6) - 3 -9 =0 має більше ніж один корінь?
Розв’язання. Використаємо стандартний крок – почнемо з випадків = 0 і = -3.

Якщо = 0, то рівняння має єдиний розв’язок.

Якщо ,то розв’язком рівняння буде будь – яке дійсне число.

Якщо і , то, поділивши обидві частини даного рівняння на , отримаємо квадратне рівняння дискримінант якого 4(1 + 3 ) додатний, якщо . З проміжку необхідно виключити точку =0, і не забути включити у відповідь = -3.

Відповідь. = -3, або -

Приклад 19. При яких значеннях рівняння має єдиний розв’язок?
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі Наявність квадратного рівняння і умови єдності розв’язку, очевидно, приведуть до відшукання коренів дискримінанту. Разом з тим умова х ≠0 повинна привернути увагу. І річ у тім, що квадратне рівняння може мати два корені! Але обов’язково тільки один з них повинен дорівнювати -3. Маємо: D= 2 -4, звідки D =0,
якщо = 2; х = -3 буде коренем рівняння ,
якщо =- , причому при такому значенні другий корінь квадратного рівняння відмінний від – 3.

Відповідь. = 2 або = -

Приклад 20.При яких значеннях рівняння х2- і - =0
рівносильні?

Розв’язання. Очевидно, якщо , то перше рівняння має два різних корені, а друге – тільки один, і в цьому випадку рівняння нерівносильні. Зрозуміло, що якщо =0, то розв’язки рівнянь збігаються. Якщо 0, то ні перше, ні друге рівняння розв’язків не мають. Тому вони рівносильні.

Відповідь. ≤ 0.

Приклад 21.Розв’язати рівняння |ах-1|=|х+3|.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 862 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Надо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © Федор Достоевский
==> читать все изречения...

2327 - | 2004 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.