При построении графиков функций с помощью производных полезно придерживаться такого плана:
1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.
2. Выясняют, не является ли функция четной или нечетной; проверяют её на периодичность.
3. Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
4. Находят критические точки функции.
5. Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Определяют промежутки вогнутости и выпуклости кривой и находят точки перегиба.
7. Находят асимптоты графика функции.
8. Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
Задание 38. Исследовать функцию и построить график: 
.
Решение: 1. Функция определена на интервале (-¥; ¥). Точек разрыва нет.
2. Имеем 
. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как 
и 
.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Если у = 0, то 
, откуда 
, т.е. 
. Значит, кривая пересекает ось абсцисс в точках (-3; 0) и (1; 0). Если х = 0, то из равенства 
следует у = -3, т.е. кривая пересекает ось ординат в точке (0; -3).
4. Найдем критические точки функции. Имеем 
.
5. Область определения функции разделится на промежутки (-¥; -1) и (-1; ¥). Знаки производной 
в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка. Так, 
. Следовательно, в промежутке (-¥; -1) функция убывает, а в промежутке (-1; ¥) – возрастает. При 
функция имеет минимум, равный 
, М(-1; 4).
Составим таблицу:
| х | (-¥; -1) | -1 | (-1; ¥) |
| - | + | |
  
| 
|
6. Находим 
, т.е. 
. Следовательно, кривая вогнута на всей области определения и не имеет точек перегиба.
7. Вертикальная асимптота имеет вид 
, если 
и 
(или 
). Так как функция 
определена на интервале 
, то точек разрыва нет, нет и вертикальных асимптот.
Прямая 
называется горизонтальной асимптотой графика функции 
при 
, если 
.
В нашем случае 
, следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Прямая 
называется наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы:
и 
В нашем случае:
- не существует.
- не существует.
Следовательно, наклонных асимптот данная функция не имеет.
8. Построим все найденные точки в прямоугольной системе координат и соединим их плавной линией (рис. 5).
  у 
|
А(-3;0) -1 В(1;0) 
|
  0 х
|
 -3
|
 М -4
|
| Рис. 5 |
Ответы
1а) 
1б) 
2а) 
2б) 
3а) 
Можно упростить выражение до нахождения производной, сократив на х, тогда 
3б) 
4а) 
.
4б) 
.
5а) 
.
5б) 
, если решать по формуле IV – (производной произведения).
, если решать по формуле VI (производной частного).
После преобразования получим:
.
6а) 
.
6б) 
.
7а) 
.
7б) 
.
8а) 
.
8б) 
.
9а) 
.
9б) 
.
10а) 
.
10б) 
.
11а) 
.
11б) 
.
12а) 
.
12б) 
13а) 
.
13б) 
.
14а) 
.
14б) 
15а) 
.
15б) 
16а) 
. По формулам 14, 18.
16б) 
. По формулам 11, 18, V, 10, 17.
17а) 
.
17б) 
.
18а) 
.
18б) 
.
19а) Линия 
ось 0 х пересекает в точках, где у = 0. Найдем координаты этих точек 
.
Это точки А(0; 0) и В(4; 0).
Производная будет равна 
.
Для точки А(0; 0) уравнение касательной:
Для точки А(0; 0) уравнение нормали:
Для точки В(4;0)
уравнение касательной
Уравнение нормали для точки В(4;0)
