Действия со степенями

 

А. . При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.

Б. .

В. . Если основания степеней одинаковы, то при умножении показатели степеней складываются, при делении – показатели степеней вычитаются.

Г.

Д.

Е.

Например:

.

.

.

.

.

 

Задание 3. Найти производную функции .

Решение: Сначала преобразуем по формуле Е:

.

Производную этой функции найдем по формуле Х:

.

 

Задание 4. Найти производную функции .

Решение: Сначала преобразуем это выражение по формулам Е, Д, Б:

.

Производную этой функции найдем по формулам V, Х:

.

Производную этого выражения можно найти по формуле VI, а потом преобразовать:

 

Задание 5. Найти производную функции .

Решение:

Сначала преобразовали выражение по формулам Д, Е. Производную вычисляли по формулам III, II, X, затем преобразовали полученное выражение по формулам Д, Е.

Найти самостоятельно производную функции:

2а)

2б)

 

Задание 6. Найти производную функции .

Решение:

Применили формулу VI. Далее производные находим по формулам III, X, II, I.

Найти самостоятельно производную функции:

3а)

3б)

 

Задание 7. Найти производную функции .

Решение:

Использовали формулу 10, затем формулы III, V, X.

Найти самостоятельно производную функции:

4а) .

4а) .

 

Задание 8. Найти производную функции .

Подставим это выражение в виде степени:

.

Производную найдем сначала по формуле 10.

Затем производную находим по формулам III, V, I, X.

Найти самостоятельно производную функции:

5а) .

5б) .

 

Задание 9. Найти производную функции .

Решение: формула 13, затем формулы III, V, I, X.

Найти самостоятельно производную функции:

6а) .

6б) .

 

Задание 10. Найти производную функции .

Решение:

формула 12, затем решаем по формулам 11, III, V, I, X.

Найти самостоятельно производную функции:

7а) .

7б) .

 

Напомним некоторые формулы действий с логарифмическими функциями:

.

.

.

.

.

 

Эти формулы верны для любого основания логарифмов.

е ≈ 2, 718.

 

Задание 11. Найти производную функции .

Решение:

формула 8.

Найти самостоятельно производную функции:

8а) .

8б) .

Задание 12. Найти производную функции .

Решение: сначала можно преобразовать по формуле логарифма степени:

.

.

Найти самостоятельно производную функции:

9а) .

9б) .

Задание 13. Найти производную функции .

Решение: - формула 14, V.

Найти самостоятельно производную функции:

10а) .

10б) .

 

Задание 14. Найти производную функции .

Решение:

(формулы (V, 10, 14).

Найти самостоятельно производную функции:

11а) .

11б) .

 

Задание 15. Найти производную функции .

Решение: (формулы V, 10, 16).

Найти самостоятельно производную функции:

12а) .

12б) .

Задание 16. Найти производную функции .

Решение:

(формулы IV, XIII, XIV).

Найти самостоятельно производную функции:

13а) .

13б) .

 

Задание 17. Найти производную функции .

Решение:

(формулы VI, 14, 16, V).

Найти самостоятельно производную функции:

14а) .

14б) .

Задание 18. Найти производную функции .

Решение: (формула 18).

Найти самостоятельно производную функции:

15а) .

15б) .

Задание 19. Найти производную функции .

Решение: (формула 20).

Найти самостоятельно производную функции:

16а) .

16б) .

Задание 20. Найти производную функции .

Решение: Используя формулу , получим .

Найти самостоятельно производную функции:

17а) .

17б) .

Задание 21. Продифференцировать функцию .

Решение: (формулы 12, XIII).

Найти самостоятельно производную функции:

18а) .

18б) .

 

Производную от данной функции часто называют первой производной (или производной первого порядка). От производной также можно взять производную, которую называют второй производной (или производной второго порядка) и обозначают .

Производной третьего порядка (или третьей производной) называют производную от второй производной. Её обозначают .

Например, для функции имеем .