Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Преобразование Фурье в классе




В случае области бесконечной меры пространства не вкладываются одно в другое. В частности, (пример: ). Поэтому преобразование Фурье не применимо в обычном смысле к тем функциям из , которые не принадлежат . Тем не менее в пространстве можно ввести преобразование Фурье, но понимать его надо в более широком смысле, чем в .

Теорема (Планшерель, 1910 г.). Для всякой функции интеграл

(1)

представляет собой функцию, принадлежащую (по ) пространству . При последовательность в метрике имеет некоторый предел , причем

(2)

Если f(x), кроме того, принадлежит , то есть обычное преобразование Фурье функции f(x). Поэтому и в общем случае (когда ) называется преобразованием Фурье от f(x).

Замечание 1. В теории обобщенных функций доказывается, что преобразование Фурье отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно.

Замечание 2. Справедливо более общее, чем (2), соотношение. Именно, если и – любые функции из , а – их преобразования Фурье, то

Для доказательства достаточно рассмотреть равенство (2) для .

Соотношения между гладкостью функции и убыванием ее преобразования Фурье сохраняются и в .

Утверждение. Пусть является локально абсолютно непрерывной, и . Тогда . Верно и обратное утверждение: если и , то есть локально абсолютно непрерывная функция, и

Доказательство в [2], стр.393-394.

Если и финитна (равна нулю вне отрезка [-b;b]), то она принадлежит пространству и ее преобразование Фурье – функция может быть аналитически продолжена в плоскость . Действительно, выражение определено при всех комплексных . Оно удовлетворяет оценке и является аналитической функцией от .

Определение. Целая аналитическая функция , удовлетворяющая неравенству , называется функцией экспоненциального типа .

Мы видим, что преобразование Фурье квадратично суммируемой функции, обращающейся в ноль при , есть целая функция экспоненциального типа. Справедлива и обратная теорема.

Теорема (Винер - Палей) [2]. Если целая функция экспоненциального типа интегрируема в квадрате по вещественной оси, то она является преобразованием Фурье функции , равной нулю вне отрезка [-b;b].





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-07; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 556 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наука — это организованные знания, мудрость — это организованная жизнь. © Иммануил Кант
==> читать все изречения...

2267 - | 2068 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.