Пример. Получилась функция, аналитическая в полосе (мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы)

Получилась функция, аналитическая в полосе (мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы). Отметим, что первый интеграл сходится только при , а второй – при .

Обращением предыдущей теоремы является следующая

Теорема [6]. Пусть функция , , голоморфна в полосе и пусть равномерно, когда в полосе , где – произвольное положительное число. Тогда для функции

,

где , а – вещественно, имеет место соотношение

.

Кроме того, при и при , где – произвольное, сколь угодно малое положительное число.

Функцию , определенную в утверждении теоремы можно считать решением интегрального уравнения

.

Доказательство. Проверим непосредственно последнее равенство:

.

Пусть в этом равенстве. Выберем и так, что и перейдем во внутреннем интеграле на параллельную прямую для , а для – на прямую :

.

Сдвиги сделаны для того, чтобы можно было поменять порядок интегрирования. До сдвигов мы имели , а после сдвигов в первом интеграле и , а во втором и . Эти неравенства гарантируют экспоненциальное убывание модуля подынтегральной функции при (с учетом при ). Отметим здесь, что абсолютная сходимость полученных повторных интегралов влечет в силу теоремы Фубини сходимость при почти всех и независимость от интеграла, определяющего функцию f(x).

После перемены порядка интегрирования и вычисления внутренних интегралов будем иметь

, где – замкнутый контур, получающийся в пределе из прямоугольника при , причем этот прямоугольник обходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Так как по условию равномерно в полосе , то интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника в пределе обращаются в нуль.

По теореме Коши о вычетах (интегральная формула Коши) имеем .

Далее, если при и при , то из формулы следует, что голоморфна в полосе . Однако, по условию голоморфна при . Следовательно, можно положить , , где – произвольно малое положительное число.

Теорема доказана.