Получилась функция, аналитическая в полосе 
(мероморфная во всей плоскости, с полюсами на границах полосы). Отметим, что первый интеграл сходится только при 
, а второй – при 
.
Обращением предыдущей теоремы является следующая
Теорема [6]. Пусть функция 
, 
, голоморфна в полосе 
и пусть 
равномерно, когда 
в полосе 
, где 
– произвольное положительное число. Тогда для функции
,
где 
, а 
– вещественно, имеет место соотношение
.
Кроме того, 
при 
и 
при 
, где 
– произвольное, сколь угодно малое положительное число.
Функцию 
, определенную в утверждении теоремы можно считать решением интегрального уравнения
.
Доказательство. Проверим непосредственно последнее равенство:
.
Пусть 
в этом равенстве. Выберем 
и 
так, что 
и перейдем во внутреннем интеграле на параллельную прямую 
для 
, а для 
– на прямую 
:
.
Сдвиги сделаны для того, чтобы можно было поменять порядок интегрирования. До сдвигов мы имели 
, а после сдвигов в первом интеграле 
и 
, а во втором 
и 
. Эти неравенства гарантируют экспоненциальное убывание модуля подынтегральной функции при 
(с учетом 
при 
). Отметим здесь, что абсолютная сходимость полученных повторных интегралов влечет в силу теоремы Фубини сходимость при почти всех 
и независимость от 
интеграла, определяющего функцию f(x).
После перемены порядка интегрирования и вычисления внутренних интегралов будем иметь
, где 
– замкнутый контур, получающийся в пределе из прямоугольника 
при 
, причем этот прямоугольник обходится в положительном направлении (против часовой стрелки). Так как по условию 
равномерно в полосе 
, то интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника в пределе обращаются в нуль.
По теореме Коши о вычетах (интегральная формула Коши) имеем 
.
Далее, если 
при 
и 
при , то из формулы 
следует, что 
голоморфна в полосе 
. Однако, по условию голоморфна при 
. Следовательно, можно положить 
, 
, где – произвольно малое положительное число.
Теорема доказана.
