Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕреобразование ‘урье и операци€ дифференцировани€




ѕредположим, что абсолютно интегрируема€ функци€ f(x) абсолютно непрерывна в окрестности каждой точки и еЄ производна€ также абсолютно интегрируема на оси -∞<x<∞. ¬ы€сним, как св€заны преобразовани€ ‘урье функции f(x) с еЄ производной.

«аметим, что из интегрируемости следует существование предела функции при . Ётот предел может быть только нулЄм, так как иначе f(x) не была бы интегрируемой. »нтегрированием по част€м получаем .

ѕо доказанному, внеинтегральный член равен нулю. ѕолучаем равенство

.

≈сли у функции f(x) интегрируемы производные до пор€дка m, то, повтор€€ процесс, получаем,

k=0,1,..,m.

“ак как, как преобразование ‘урье интегрируемой функции есть ограниченна€ функци€ от (и даже стрем€ща€с€ к 0, при ), то

.

»так, чем больше функци€ f(x) имеет интегрируемых производных, тем быстрее еЄ преобразовани€ ‘урье стрем€тс€ к нулю на бесконечности.

«амечание. ¬ частности, при некоторой гладкости функции f(x) еЄ преобразование ‘урье становитс€ также абсолютно интегрируемой функцией. »з полученного неравенства видно, что дл€ этого достаточно существовани€ в и . ћожно ограничитьс€ существованием и , но при дополнительном условии, что они принадлежат не только , но и . ¬ этом случае из следует , откуда

.

ƒл€ любого линейного дифференциального оператора с посто€нными коэффициентами пор€дка ≤ m получаем

.

Ћинейное дифференциальное уравнение на оси относительно функции f(x) переходит в алгебраическое уравнение на оси относительно .Ёто открывает новые возможности дл€ решени€ дифференциальных уравнений. ѕоскольку дифференциальные уравнени€, к которым можно применить этот метод должны быть линейными с посто€нными коэффициентами, то дл€ обыкновенных дифференциальных уравнений этот метод мало что даЄт (учитыва€, тем более, что мы должны оставатьс€ в границах класса интегрируемых на всей оси функций). Ќо дл€ уравнений с частными производными метод преобразовани€ ‘урье уже оказываетс€ полезным.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 907 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќадо любить жизнь больше, чем смысл жизни. © ‘едор ƒостоевский
==> читать все изречени€...

1979 - | 1705 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.012 с.