Гладкость функции 
зависит от скорости стремления к нулю 
при 
. Пусть интегрируемым является произведение 
– фиксированная постоянная.
По определению 
для 
. Определим этим же равенством функцию комплексного аргумента 
:
Этот интеграл сходится в полосе 
, так как 
и 
для всех действительных 
.
Утверждение. 
– аналитическая функция комплексного переменного в полосе . При 
эта функция стремится к нулю равномерно по 
.
Доказательство. В каждой внутренней точке полосы эта функция комплексного аргумента 
дифференцируема: при формальном дифференцировании по имеем
этот интеграл равномерно сходится в некоторой окрестности точки (не выходящей за пределы полосы) и представляет, следовательно, производную функции 
. Функция ограничена во всей указанной полосе:
Отсюда следует, в частности, что последовательности функций 
, сходящейся по 
отвечает последовательность 
, равномерно сходящаяся во всей полосе 
.
Далее, можно утверждать, что функция 
стремится при 
к нулю равномерно по 
, . Действительно, это имеет место для преобразования Фурье характеристической функции интервала 
:
,
поскольку числитель полученного выражения ограничен при (
). К общему случаю можно перейти обычным предельным переходом от ступенчатых функций.
Утверждение доказано.
Отметим, что в силу последнего свойства в формуле обращения можно произвести интегрирование не только по вещественной оси, но по любой параллельной прямой, лежащей в указанной полосе -плоскости, так что
В приложениях иногда приходится применять преобразования Фурье к функциям, имеющим разное асимптотическое поведение при 
и 
.
Теорема. Пусть – локально абсолютно интегрируемая функция вещественного аргумента такая, что 
при 
и 
при , причём 
. Тогда интеграл
определяет аналитическую функцию от в полосе 
. При любом 
имеет место формула обращения
,
если только она имеет место хотя бы для одного 
.
Замечание. В приведенной ниже теореме доказано, что формула обращения имеет место для любого .
Доказательство. Сходимость интегралов от 
и от 
в полосе следует из локальной интегрируемости 
и оценок при и :
при , так как 
,
при так как 
.
Стремление к нулю при 
сохраняется при умножении экспонент на .
Убедимся в справедливости формулы обращения, для чего подставим в неё
Возможность обращения преобразования Фурье на функции 
при любом 
вытекает из предположения о его обратимости при 
, так как 
в силу теоремы Коши и равномерного по 
стремления к нулю функции 
.
Теорема доказана.
Переход к комплексным значениям аргумента 
образа преобразования Фурье позволяет применять его к функциям вещественного аргумента, которые на всей вещественной оси могут быть неинтегрируемыми.
