Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


јналитичность преобразовани€ ‘урье




 

√ладкость функции зависит от скорости стремлени€ к нулю при . ѕусть интегрируемым €вл€етс€ произведение Ц фиксированна€ посто€нна€.

ѕо определению дл€ . ќпределим этим же равенством функцию комплексного аргумента :

Ётот интеграл сходитс€ в полосе , так как и дл€ всех действительных .

”тверждение. Ц аналитическа€ функци€ комплексного переменного в полосе . ѕри эта функци€ стремитс€ к нулю равномерно по .

ƒоказательство. ¬ каждой внутренней точке полосы эта функци€ комплексного аргумента дифференцируема: при формальном дифференцировании по имеем

этот интеграл равномерно сходитс€ в некоторой окрестности точки (не выход€щей за пределы полосы) и представл€ет, следовательно, производную функции . ‘ункци€ ограничена во всей указанной полосе:

ќтсюда следует, в частности, что последовательности функций , сход€щейс€ по отвечает последовательность , равномерно сход€ща€с€ во всей полосе .

ƒалее, можно утверждать, что функци€ стремитс€ при к нулю равномерно по , . ƒействительно, это имеет место дл€ преобразовани€ ‘урье характеристической функции интервала :

,

поскольку числитель полученного выражени€ ограничен при ().   общему случаю можно перейти обычным предельным переходом от ступенчатых функций.

”тверждение доказано.

ќтметим, что в силу последнего свойства в формуле обращени€ можно произвести интегрирование не только по вещественной оси, но по любой параллельной пр€мой, лежащей в указанной полосе -плоскости, так что

¬ приложени€х иногда приходитс€ примен€ть преобразовани€ ‘урье к функци€м, имеющим разное асимптотическое поведение при и .

“еорема. ѕусть Ц локально абсолютно интегрируема€ функци€ вещественного аргумента така€, что при и при , причЄм . “огда интеграл

определ€ет аналитическую функцию от в полосе . ѕри любом имеет место формула обращени€

,

если только она имеет место хот€ бы дл€ одного .

«амечание. ¬ приведенной ниже теореме доказано, что формула обращени€ имеет место дл€ любого .

ƒоказательство. —ходимость интегралов от и от в полосе следует из локальной интегрируемости и оценок при и :

при , так как ,

при так как .

—тремление к нулю при сохран€етс€ при умножении экспонент на .

”бедимс€ в справедливости формулы обращени€, дл€ чего подставим в неЄ

¬озможность обращени€ преобразовани€ ‘урье на функции при любом вытекает из предположени€ о его обратимости при , так как в силу теоремы  оши и равномерного по стремлени€ к нулю функции .

“еорема доказана.

ѕереход к комплексным значени€м аргумента образа преобразовани€ ‘урье позвол€ет примен€ть его к функци€м вещественного аргумента, которые на всей вещественной оси могут быть неинтегрируемыми.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 665 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќаглость Ц это ругатьс€ с преподавателем по поводу четверки, хот€ перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2440 - | 2020 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.